Corrente Alternata Sinusoidale III

La Corrente Alternata

Ammettenza. RLC in parallelo. Risonanza di corrente

Sintesi. Si studia la configurazione circuitale realizzata collegando i componenti fondamentali resistore, induttore e condensatore, R, L e C, in parallelo. Sviluppiamo quindi il concetto di ammettenza. Viene analizzato il comportamento in funzione della frequenza e il fenomeno della risonanza di corrente.

Convenzioni tipografiche. Usiamo lettere puntate, ad esempio \(\small \dot{V},\, \dot{I},\, \dot{Z}\) per rappresentare fasori e operatori complessi. La stessa notazione rappresenta anche i corrispondenti numeri complessi ( es. \(\small \dot{Z} = R +j\,X\)). Riserviamo però la notazione standard per i vettori rotanti (es \(\small \vec{I}, \vec{V}\)).
Lettere non puntate indicano i moduli di grandezze complesse o vettoriali (es. \(\small Z = \sqrt{R^2 + X^2}\)).
Per l'unità immaginaria, in luogo della lettera \(\small i = \sqrt{-1}\) come in matematica, utilizzeremo qui la lettera \(\small j = \sqrt{-1}\). Quando desideriamo mettere in evidenza la dipendenza funzionale da altre grandezze come il tempo, usiamo lettere minuscole, cosi ad esempio: \(\small v(t) = V_M\,sin(\omega t)\).

Premessa.
La comprensione efficace dei concetti qui esposti comporta alcune conoscenze pregresse che lo studioso potrà formarsi, oltre che sulla letteratura specialistica, anche consultando il modulo precedente di questa serie: Corrente alternata 2: Reattanza e Impedenza. ove sono appunto presentati e discussi i fondamentali concetti di reattanza e impedenza, oltre che altre importanti questioni quali i circuiti RLC serie e la risonanza di tensione (risposta in frequenza).

1 - Il collegamento RLC in parallelo

Studiamo la configurazione circuitale che vede i componenti fondamentali: resistore R, induttore L e condensatore C, collegati in parallelo. Ognuno di essi è allora sottoposto alla stessa tensione \(\small v(t)\) di valore efficace \(\small V = \dfrac{V_M}{\sqrt{2}}\) e attraversato da una corrente \(\small i(t) \) la cui intensità è determinata dall'ammettenza \(\small \dot{Y}\) ⁽¹⁾ di ogni ramo.

1.1 - Ammettenza, Conduttanza, Suscettanza

L'ammettenza è un operatore complesso che realizza la trasformazione \(\small \dot{Y} : \dot{V} \rightarrow \dot{I}\). In sostanza si tratta della trasformazione inversa di quella operata dall'impedenza, l'ammettenza dunque è il reciproco dell'impedenza:

(1) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{\dot{Z}} \).

L'unità di misura è \(\small \Omega^{-1}\) oppure il siemens, S: 1 S = \(\small \dfrac{1}{\Omega} = \Omega^{-1}\).
Come si sa, prodotti e divisioni tra numeri complessi si eseguono più agevolmente se si adotta la forma eponenziale o la forma polare⁽²⁾:

(2) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = Y\,e^{j\,\theta} \).

nella notazione di Steinmetz:

(3) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = Y\,\angle \theta \).

Per la relazione con l'impedenza si ha:

(4) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{Z\,e^{j\,\varphi}} = \dfrac{1}{Z}\,e^{-j\,\varphi} \).

oppure in forma polare:

(5) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{Z}\,\angle -\varphi \).

con \(\small Y = \dfrac{1}{Z}\) per quanto riguarda il modulo e \(\small \theta = -\varphi\) per l'argomento.
L'ammettenza può anche essere espressa in forma algebrica:

(6) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = G + j\,B \).

La cui parte reale \(\small G\) è detta conduttanza, mentre la parte immaginaria \(\small B\) è detta suscettanza.
Se un'impedenza \(\small \dot{Z} = R + j\,X\) è formata da una parte reale \(\small R\) (resistenza) e da una parte immaginaria \(\small X\) (reattanza induttiva o capacitiva), con semplici calcoli ⁽³⁾ si ricavano le espressioni per la conduttanza \(\small G\) e la suscettanza \(\small B\) in funzione dei componenti dell'impedenza:

(7) \( \qquad \qquad \qquad \qquad G = \dfrac{R}{R^2 + X^2} \qquad \qquad B = \dfrac{- X}{R^2 + X^2} \).

Si deve prestare attenzione al segno meno che compare nell'espressione di \(\small B\). La (7) dice che, in ogni caso, va cambiato il segno della parte immaginaria dell'ammettenza, rispetto a quello dell'impedenza corrispondente. Infatti, come si vede anche da (4) o da (5), l'angolo dell'ammettenza è uguale in valore assoluto a quello dell'impedenza, ma ha segno opposto e ciò determina il segno della parte immaginaria dell'ammettenza stessa: negativa se si tratta di una suscettanza induttiva, positiva per una suscettanza capacitiva. Indicando con \(\small B_L\) e \(\small B_C\) i valori assoluti della suscettanza induttiva e capacitiva, avremo:

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = G - j\,B_L \qquad \qquad \dot{Y} = G + j\,B_C \).

Ad ogni modo, nel caso in esame, abbiamo un solo componente per ogni ramo e quindi la scrittura dell'ammettenza è molto semplificata. Per ogni ramo si ha solamente una conduttanza \(\small G\) (ramo R) o una suscettanza \(\small B\) (rami L e C), che si ottengono da (7) ponendo a zero \(\small X\) oppure \(\small R\):

(8) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y}_R = \dfrac{1}{R} = G \)

(9) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y}_L = \dfrac{1}{j\,X_L} = -j\,\dfrac{1}{X_L} = -j\,B_L \)

(10) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{Y}_C = \dfrac{1}{-j\,X_C} = + j\,\dfrac{1}{X_C} = +j\,B_C \)

1.2 - Calcolare le correnti

Le intensità di corrente nei rami del parallelo sono date da :

(11) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_R = \dot{V}\,\dot{Y}_R \)

(12) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_L= \dot{V}\,\dot{Y}_L \)

(13) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_C = \dot{V}\,\dot{Y}_C \)

La corrente totale erogata dal generatore è costituita dalla somma delle correnti di ramo.

(14) \( \qquad \dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L + \dot{I}_C \)

che per le precedenti (11-13) possiamo anche scrivere:

(14') \( \qquad \dot{I} = \dot{V}\,\dot{Y}_R + \dot{V}\,\dot{Y}_L + \dot{V}\,\dot{Y}_C = \dot{V}\,(\dot{Y}_R + \dot{Y}_L + \dot{Y}_C) \)

Da cui si deduce che la corrente totale può anche essere determinata se si conosce l'ammettenza totale, che corrisponde a considerare il bipolo equivalente del parallelo:

(14'') \( \qquad \dot{Y} = \dot{Y}_R + \dot{Y}_L + \dot{Y}_C = \dfrac{1}{R} - j\,\dfrac{1}{X_L} + j\,\dfrac{1}{X_C} = \dfrac{1}{R} + j\, \left(\dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L} \right) \)

(15) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I} = \dot{V}\,\dot{Y} \)

Per l'argomento di \(\small \dot{Y}\) abbiamo:

(16) \( \qquad tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L}}{\dfrac{1}{R}} = \dfrac{R}{X_C} - \dfrac{R}{X_L} \)

(17) \( \qquad \qquad \qquad \theta = atan \left(\dfrac{R}{X_C} - \dfrac{R}{X_L}\right) \)

Occupiamoci ora dei casi particolari R-L, R-C e R-L-C in parallelo anche in relazione al bilancio energetico e delle potenze.

2 - Il parallelo R-L

Nel parallelo R-L l'ammettenza equivalente è data dalle formule seguenti:

(18) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{R} - j\,\dfrac{1}{X_L} \)

(19) \( \qquad \qquad \qquad \theta = atan \left( \dfrac{ -\dfrac{1}{X_L}}{\dfrac{1}{R}}\right) = atan \left(- \dfrac{R}{X_L}\right) \)

La corrente nel ramo del resistore \(\small \dot{I}_R\) è in fase con la tensione ed è data da:

(20) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_R = \dot{V}\,\dot{Y}_R = \dfrac{\dot{V}}{R} \)

Nel ramo dell'induttore invece la corrente \(\small \dot{I}_L\) è in ritardo di \(\small \dfrac{\pi}{2}\) sulla tensione, come è chiaramente rappresentato nella lavagna a sinistra. Il suo valore è calcolato come:

(21) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_L= \dot{V}\,\dot{Y}_L = \dfrac{\dot{V}}{j\,X_L} = -j\,\dfrac{\dot{V}}{X_L}\)

La corrente totale è la somma (1° principio di Kirchhoff):

(22) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I} = \dot{I}_R +\dot{I}_L \)

Un aumento di \(\small L\) provoca l'aumento di \(\small X_L\) e la diminuzione di \(\small Y_L\): conseguentemente la corrente \(\small I_L\) si riduce. La corrente totale tende a disporsi in fase con la tensione \(\small V\).

2.1 - Il comportamento del bipolo R-L al variare della frequenza

Poichè \(\small Y_L = \dfrac{1}{2\,\pi\,L\,f}\) un aumento della frequenza porta ad una diminuzione di \(\small Y_L\) e della corrente nel ramo dell'induttore.
Le correnti a bassa frequenza percorrono preferibilmente il ramo dell'induttore (bassa reattanza, alta ammettenza) e quindi un induttore in parallelo con un carico, rappresentato da R, si comporta da filtro passa-alto: il carico è più facilmente percorso da correnti ad alta frequenza.
Variando la frequenza o l'induttanza viene coinvolta solo la corrente \(\small \dot{I_L}\). La componente della corrente totale lungo la tensione \(\small \dot{I_R}\) non varia. Ciò significa anche che queste variazioni avvengono senza modificare la potenza attiva.

2.2 - Il triangolo delle correnti e delle ammettenze

I tre vettori \(\small \dot{I}\), \(\small \dot{I_R}\) e \(\small \dot{I_L}\) formano il triangolo delle correnti. L'angolo tra \(\small \dot{I_R}\) e \(\small \dot{I}\) coincide con l'angolo \(\small \varphi\) di sfasamento tra tensione e corrente. Tra gli elementi del triangolo sussistono le note relazioni trigonometriche:

(23) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; I_R = I\,cos\,\varphi \qquad \qquad I_L = I\,sin\,\varphi \)

Analogamente a quanto si è fatto per l'impedenza possiamo visualizzare il triangolo dell'ammettenza che presenta le ovvie relazioni trigonometriche tra i lati.

Attività1

2.3 - Le potenze nel bipolo R-L parallelo

Il ramo resistivo è caratterizzato dalla potenza attiva:

(24) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;P = V\,I_R = V\,I\,cos\,\varphi \)

Il ramo induttivo dalla potenza reattiva:

(25) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;Q = V\,I_L = V\,I\,sin\,\varphi \)

in cui si sono usate le (23)
In alternativa,utilizzando le (20) e (21) in modulo, la potenza attiva è anche calcolabile come:

(26) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;P = V\,\dfrac{V}{R} = \dfrac{V^2}{R} \)

e la potenza reattiva:

(27) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;Q = V\,\dfrac{V}{X_L} = \dfrac{V^2}{X_L} \)

Per approfondire:

Potenza in corrente alternata sinusoidale

2.4 - Impedenza equivalente del bipolo R-L parallelo

La relazione di reciprocità tra ammettenza e impedenza consente le seguenti considerazioni. Abbiamo quindi la nota relazione:

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{\dot{Z}} \)

Per ogni ramo possiamo definire una relazione tra ammettenza e impedenza del ramo, secondo le formule:

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y}_R = \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{\dot{Z}_R} \)

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y}_L = \dfrac{1}{j\,X_L} = \dfrac{1}{\dot{Z}_L} \)

Come risulta dalla precedente discussione del paragrafo 1.2, l'ammettenza equivalente è data dalla somma delle ammettenze:

\( \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{\dot{Z}} = \dot{Y}_R + \dot{Y}_L = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j\,X_L} = \dfrac{R + j\,X_L}{R\,j\,X_L} \)

da cui infine:

(28) \( \qquad \qquad \dot{Z} = \dfrac{R\,\,j\,X_L}{R + j\,X_L} = \dfrac{\dot{Z}_R\, \dot{Z}_L}{\dot{Z}_R+\dot{Z}}_L \)

Ciò che risulta evidente è che l'impedenza equivalente del parallelo R-L si calcola con una formula formalmente identica a quella del parallelo di resistori in corrente continua, con l'ovvia differenza che qui si usano impedenze e numeri complessi anzichè resistenze e numeri reali:

3 - Il parallelo R-C

Nel parallelo bipolo R-C l'ammettenza equivalente è data dalla formula seguente:

(29) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Y} = \dfrac{1}{R} + j\,\dfrac{1}{X_C} \)

La corrente \(\small \dot{I}_R\) che attraversa il resistore è in fase con la tensione e ha valore:

(30) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_R = \dot{V}\,\dot{Y}_R = \dfrac{\dot{V}}{R} \)

Nel ramo del condensatore invece la corrente \(\small \dot{I}_C\) è in anticipo di \(\small \dfrac{\pi}{2}\) sulla tensione, come è evidente nella lavagna di sinistra. Il suo valore è calcolato come:

(31) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I}_C= \dot{V}\,\dot{Y}_C = \dfrac{\dot{V}}{-j\,X_C} = j\,\dfrac{\dot{V}}{X_C}\)

La corrente totale è data dalla somma delle correnti dei rami (1° principio di Kirchhoff):

(32) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; \dot{I} = \dot{I}_R +\dot{I}_C \)

Una diminuzione della capacità \(\small C\) provoca l'aumento di \(\small X_C\), la diminuzione di \(\small Y_C\) e conseguentemente la corrente \(\small \dot{I}_C\) diminuisce. La corrente totale tende a disporsi in fase con la tensione \(\small \dot{V}\).

3.1 - Il comportamento del bipolo R-C al variare della frequenza

Poichè \(\small \dot{Y}_C = 2\,\pi\,C\,f\) un aumento della frequenza comporta l'aumento di \(\small Y_C\) e della corrente nel ramo del condensatore.
Le correnti ad alta frequenza percorrono preferibilmente il ramo del condensatore (bassa reattanza, alta ammettenza) e quindi un condensatore in parallelo con un carico si comporta da filtro passa-basso: il carico è più facilmente percorso da correnti a bassa frequenza.
Variando la frequenza o la capacità viene coinvolta solo la corrente \(\small \dot{I}_C\). La componente della corrente totale lungo la tensione (\(\small \dot{I}_R\)) non varia. Ciò significa anche che queste variazioni avvengono senza modificare la potenza attiva.

3.2 - Il triangolo delle correnti e delle ammettenze

I tre vettori \(\small \dot{I}\), \(\small \dot{I_R}\) e \(\small \dot{I_C}\) formano il triangolo delle correnti. L'angolo tra \(\small \dot{I_R}\) e \(\small \dot{I}\) coincide con l'angolo \(\small \varphi\) di sfasamento tra tensione e corrente. Tra gli elementi del triangolo sussistono le note relazioni trigonometriche:

(33) \( \qquad \qquad \qquad \quad \; I_R = I\,cos\,\varphi \qquad \qquad I_C = I\,sin\,\varphi \)

Analogamente a quanto si è fatto per l'impedenza possiamo visualizzare il triangolo delle ammettenze che presenta le ovvie relazioni trigonometriche tra i lati.

Attività 2

3.3 - Le potenze nel bipolo R-C parallelo

Il ramo resistivo è caratterizzato dalla potenza attiva:

(34) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;P = V\,I_R = V\,I\,cos\,\varphi \)

Il ramo induttivo dalla potenza reattiva:

(35) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;Q = -V\,I_C = -V\,I\,sin\,\varphi \)

in cui si sono usate le (33)
In alternativa,utilizzando le (30) e (31) in modulo, la potenza attiva è anche calcolabile come:

(36) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;P = V\,\dfrac{V}{R} = \dfrac{V^2}{R} \)

e la potenza reattiva:

(37) \( \qquad \qquad \qquad \quad \;Q = -V\,\dfrac{V}{X_C} = -\dfrac{V^2}{X_C} \)

Il segno meno che compare nelle formule(35) e (37) serve a ricordare il fatto che la potenza reattiva capacitiva ha andamento opposto rispetto alla corrispondente potenza induttiva. Ciò significa quando una viene assorbita, l'altra è erogata e viceversa (si vedrà ciò più dettagliatamente nel seguito, parlando del circuito RLC parallelo). Si è mantenuta la stessa convenzione del segno stabilita nel modulo precedente (Correnti alternate 2: RLC serie): positiva la Q capacitiva e negativa la Q induttiva.

3.4 - Impedenza equivalente del bipolo R-C parallelo

Posto che:

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \dot{Z}_R = R \qquad \qquad \dot{Z}_C = -j\,X_C \)

considerazioni del tutto analoghe a quelle sviluppate nel paragrafo 2.4 ci permettono di giungere ad una conclusione simile:

(38) \( \qquad \qquad \qquad \dot{Z} = \dfrac{R\,\,(-j\,X_C)}{R - j\,X_C} = \dfrac{\dot{Z}_R\, \dot{Z}_C}{\dot{Z}_R+\dot{Z}}_C \)

4 - Il bipolo R-L-C parallelo

Torniamo ora all'analisi del circuito con i componenti R, L e C collegati in parallelo. Riassumiamo brevemente quanto già visto nelle sezioni 1.1 e 1.2 riportando le numerazioni delle formule.
Relativamente alle ammettenze dei rami:

(8,9,10) \( \qquad \dot{Y}_R = \dfrac{1}{R} = G \qquad \dot{Y}_L = -j\,\dfrac{1}{X_L} = -j\,B_L \qquad \dot{Y}_C = + j\,\dfrac{1}{X_C} = +j\,B_C \)

Le correnti nei rami:

(11, 12, 13) \( \qquad \qquad \dot{I}_R = \dot{V}\,\dot{Y}_R \qquad \dot{I}_L= \dot{V}\,\dot{Y}_L \qquad \dot{I}_C = \dot{V}\,\dot{Y}_C \)

La corrente totale per il primo principio di Kirchhoff è:

(14) \( \qquad \qquad \qquad \dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L + \dot{I}_C \)

e con ulteriore passaggio:

(14') \( \qquad \qquad \dot{I} = \dot{V}\,(\dot{Y}_R + \dot{Y}_L + \dot{Y}_C) =\dot{V}\,\dot{Y} \)

in cui si nota l'ammettenza equivalente \(\small \dot{Y}\) (o totale):

(14") \( \qquad \qquad \dot{Y} = \dot{Y}_R + \dot{Y}_L + \dot{Y}_C = \dfrac{1}{R} + j\, \left(\dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L} \right) \)

L'argomento dell'ammettenza equivalente \(\small \dot{Y}\) è dato da:

(17) \( \qquad \qquad \qquad \theta = atan \left(\dfrac{R}{X_C} - \dfrac{R}{X_L}\right) \)

4.1 - Gli scambi energetici e di potenza nel parallelo RLC

Il caso RLC parallelo (come la serie, del resto) è particolarmente interessante per gli scambi energetici che avvengono tra i vari componenti.
Naturalmente il resistore assorbe energia, e quindi potenza, attiva che viene istantaneamente trasformata in calore.

(39) \( \qquad \qquad \qquad \ P = R\,I^2_R = \dfrac {V^2}{R}= V\,I\, cos \varphi \)

Questa, come sappiamo, è l'unica forma di potenza che è possibile 'estrarre' dal sistema elettrico eventualmente per compiere un lavoro (al posto del resistore potremmo ad esempio avere un motore elettrico).
Altro discorso per i componenti reattivi i quali sono in grado di alternativamente accumulare energia nella costruzione del campo magnetico, l'induttore, e del campo elettrico, il condensatore, e restituirla quando i campi vengono distrutti.
Questa caratteristica ha come conseguenza lo sfasamento di \(\small \dfrac{\pi}{2}\) tra tensioni e rispettive correnti. Ma la cosa interessante di questa configurazione circuitale è che parte dello scambio energetico avviene localmente tra induttore e condensatore, senza interessare il generatore. Addirittura, in una particolare condizione di funzionamento, la risonanza, vedremo che lo scambio tra i due componenti è completo, cioè l'energia assorbita dall'induttore in un certo intervallo di tempo è fornita dal condensatore, il quale, nello stesso intervallo la eroga e viceversa.
Ciò è anche conseguenza del fatto che le correnti \(\small \dot{I}_L\) e \(\small \dot{I}_C\) sono opposte come risulta evidente dal diagramma dei fasori.

5 - La risonanza di corrente

Esaminiamo ora il comportamento del parallelo dei tre componenti fondamentali in funzione della frequenza, con particolare riguardo all'esistenza di una eventuale condizione di risonanza.
Come abbiamo visto, la risonanza si ha quando, dal punto di vista energetico, i due componenti reattivi si compensano esattamente, il che equivale a dire che le due potenze reattive sono uguali e di segno opposto. Lo scambio di potenza (o di energia) reattiva avviene senza coinvolgere il generatore.

Attività 3: la risonanza

Figura 1 - Andamento delle suscettanze induttiva e capacitiva in funzione della frequenza

La figura 1 mette in evidenza gli andamenti delle suscettanze induttiva, capacitiva e dell'ammettenza totale, che presenta un minimo alla frequenza di risonanza.
La corrente totale, così come l'ammettenza, presenta un minimo in corrispondenza della risonanza. Quando il sistema è in risonanza le correnti \(\small \dot{I}_L\) e \(\small \dot{I}_C\) sono uguali in modulo ed hanno direzioni opposte nei rispettivi rami. Rispetto ad esempio al nodo N, in risonanza avremo sempre \(\small \dot{I}_L = - \dot{I}_C\) cioè: \(\small \dot{I}_L + \dot{I}_C = 0\). Non può quindi esserci corrente sull' altro ramo connesso a N. Le correnti \(\small \dot{I}_L\) e \(\small \dot{I}_C\) possono essere considerate come le rappresentazioni di un'unica corrente di maglia che circola nei rami \(\small L\) e \(\small C\). La corrente sul ramo del generatore, o corrente totale, è allora determinata solamente da R.
Aumentando la resistenza \(\small R\) la corrente totale diminuisce e si può arguire che, in assenza del ramo resistivo, \(\small R = \infty\), alla frequenza di risonanza non si avrebbe alcuna corrente erogata dal generatore, mentre circolerebbe una corrente solamente nella maglia chiusa formata da induttore e condensatore. Anche se può sembrare paradossale, in risonanza vi è circolazione di corrente nei due rami del parallelo, ma nessuna corrente nel ramo del generatore. Tuttavia ciò potrebbe accadere solamente in caso di induttore e condensatore ideali, cioè assolutamente privi di resistenza ohmica e quindi di dissipazioni di potenza. I componenti reali dissipano sempre una certa quota di energia (si "scaldano") e questo comporta che il generatore debba comunque erogare una corrente che trasporti la potenza attiva necessaria.
La condizione di risonanza di corrente è potenzialmente pericolosa: a fronte di una corrente totale modesta, addirittura quasi nulla se \(\small R\) è molto grande, si possono avere nei rami reattivi correnti anche estremamente elevate.

La risonanza si ha dunque quando le ammettenze (e quindi anche le reattanze) dei due rami reattivi sono uguali in modulo:

(39) \( \qquad \qquad \qquad \qquad Y_C = Y_L \)

Dopo alcuni passaggi (\(\small \omega_r\) = pulsazione alla risonanza):

\( \qquad \qquad \qquad \omega_r\,C = \dfrac{1}{\omega_r\,L} \qquad \omega_r^2\,L\,C = 1 \qquad 4\,\pi^2\, f^2_r\,L\,C = 1 \)

si ricava:

(40) \( \qquad \qquad \qquad \qquad f_r = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sqrt{L\,C}}\)

formula identica al caso della risonanza serie o di tensione.
La figura 2 rappresenta l'andamento dell'ammettenza e della fase \(\small \varphi\) (dell'impedenza). A sinistra della frequenza di risonanza l'angolo \(\small \varphi\) è positivo (l'angolo \(\small \theta\) dell'ammettenza è negativo) e il carattere del bipolo è ohmico-induttivo, a destra di \(\small f_r\) \(\small \varphi\) è negativo e il carattere del bipolo è ohmico-capacitivo.

Figura 2 - Andamento dell'ammettenza e della fase in funzione della frequenza

Dal punto di vista energetico possiamo dire che la condizione di risonanza è caratterizzata dall'equilibrio nello scambio di potenza tra i componenti reattivi. Le due potenze sono uguali e di segno opposto, segno che mentre un componente assorbe energia (potenza) reattiva l'altro la cede nella quantità esattamente necessaria. Il sistema diventa indipendente dal generatore relativamente alla potenza reattiva.

Attività 4: risonanza, fattore di potenza e rifasamento

La condizione di risonanza si verifica, come si è visto, quando le suscettanze induttiva e capacitiva o le reattanze induttiva e capacitiva sono uguali. In questa situazione gli effetti dei componenti reattivi si elidono a vicenda e il circuito si comporta come se fosse puramente ohmico, con tensione e corrente in fase. La condizione di risonanza può essere ottenuta, fissati i valori di \(\small L\) e \(\small C\) regolando la frequenza al valore dato dalla (40).

Nel caso degli impianti industriali, per cui la frequenza è normativamente fissata al valore di 50 Hz, la risonanza si può ottenere solo variando opportunamente i valori dei componenti reattivi. Anzi poichè i dispositivi industriali (es. i motori elettrici) sono generalmente di tipo ohmico-induttivo, l'unico parametro che si può modificare è eventualmente una capacità.

Ma perché sarebbe così interessante poter realizzare la condizione di risonanza?
La risposta viene da quanto detto precedentemente: in risonanza corrente totale e tensione sono in fase, il circuito si comporta come se fosse puramente ohmico, o meglio, in risonanza viene assorbita solo potenza attiva (conviene consultare: Potenza in Corrente Alternata), la potenza reattiva necessaria al funzionamento dell'impianto viene scambiata direttamente con il condensatore, non con il generatore il che fa diminuire la corrente totale, ma non la corrente assorbita dall'utilizzatore (il resistore nel nostro caso).
Risulta decisivo un parametro detto fattore di potenza che altro non è se non il coseno dell'angolo \(\small \varphi\) di sfasamento tra tensione e corrente totale. Esso determina quanta parte della potenza elettrica è utilizzabile per compiere un lavoro (fisico: Forza x spostamento), secondo la nota relazione: \[ P = V\,I\,cos\,\varphi \]
Torniamo allora al nostro esempio:
Abbiamo un utilizzatore ohmico induttivo in cui i valori di \(\small R\) e \(\small L\) determinano un angolo \(\small \varphi\) cui corrisponde un fattore di potenza:

cos \(\varphi\) =

Collegando un condensatore in parallelo, variando la capacità si può fare in modo di aumentare il cos \(\small \varphi\) in modo da ridurre progressivamente l'angolo di ritardo della corrente, fino a portare tensione e corrente in fase. A quel punto siamo in risonanza e il fattore di potenza vale 1. Si parla allora di rifasamento completo o totale.

Nella pratica però non si richiede il rifasamento completo, ma ci si accontenta di ottenere valori leggermente più bassi, per esempio 0,9.

Ora dalla situazione iniziale collega condensatore in parallelo e fai variare solamente la capacità fino ad ottenere un valore di 0,92 per il fdp (puoi controllare il cos \(\varphi\), qualche riga più sopra, o calcolarlo sulla base dell' angolo \(\small \varphi\)).
Osserva come variano le grandezze:

Che succede alla corrente totale?
Cosa non varia?
Se non si variano atri parametri la potenza attiva resta costante. Perché?

Esercitazione
Imposta i seguenti valori per i componenti nello schema RL parallelo:

\(\qquad \qquad \qquad \qquad R = 4\; \Omega\) \(\qquad L = 11,42\; mH\)

Individua il valore della capacità a) per il rifasamento completo e b) a cosfì 0,9
Rispondi poi alle seguenti domande (usa il punto decimale in luogo della virgola).

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Rev. gennaio 2021

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Sistemi Trifase

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⁽¹⁾ Ovviamente si poteva dire "la cui intensità è determinata dall'impedenza Z di ogni ramo", ma trattando del collegamento in parallelo risulta vantaggioso utilizzare l'operatore ammettenza Y. Nei collegamenti serie è preferibile usare l'impedenza, data l'additività delle cadute di tensione, nel parallelo l'ammettenza per l'additività delle correnti.

⁽²⁾Per la forma esponenziale dei numeri complessi vedere: Formula di Eulero. Potenze e logaritmi complessi

⁽³⁾ Essi comportano la divisione di numeri complessi in forma algebrica. Si moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore.
Vedere numeri complessi