Potenza elettrica in corrente alternata sinusoidale
Potenza elettrica
in corrente alternata sinusoidale
1.1 - Definizione generale di potenza
Chiamiamo potenza la rapidità con cui un qualsiasi dispositivo è in grado di produrre o utilizzare l'energia, sotto forma di lavoro, e cioè:
\[{P = \frac{\Delta L}{\Delta t}} \]
dove ΔL, misurato in joule, è la quantità di lavoro compiuto o assorbito nell'intervallo di tempo Δt secondi. L'unità di misura della potenza è il "watt" che dimensionalmente equivale a [ J]/[s].
1.2 - Potenza elettrica istantanea
Nei sistemi elettrici, e in particolare in corrente continua dove tensione e intensità di corrente sono costanti nel tempo, la potenza è data dall'espressione:
\[P = \frac{ \Delta Q\cdot V }{\Delta t}= V\frac{ \Delta Q }{\Delta t} = V I\]
in questo caso anche P è una grandezza costante nel tempo.
In corrente alternata bisogna tener conto del fatto che tensione e corrente dipendono dal tempo secondo opportune leggi:
\[{v(t) = V_M \;sin(\omega t + \alpha )} \] \[{i(t) = I_M \;sin(\omega t + \beta)}\]
che sono funzioni sinusoidali del tempo.
Attività 1
Definiremo allora una potenza istantanea come prodotto:
\[p(t) = v(t) i(t)\]
che, come si vede, è ancora rappresentato da una sinusoide, però con frequenza doppia rispetto a quella di tensione e corrente.
In relazione al tipo di carico (ohmico, induttivo, capacitivo, ecc), tensione e corrente presenteranno rapporti di fase diversi, fatto che avrà importanti ripercussioni sulla potenza.
Attività 2
Per un carico puramente ohmico (solo resistenza) osserviamo che le curve di tensione e corrente sono in fase: zeri, massimi e minimi si corrispondono. In questo caso la potenza istantanea ha l'aspetto di una sinusoide di frequenza doppia, traslata in modo da essere tutta positiva.
Se il carico è puramente induttivo (solo induttore) la corrente è in quadratura in ritardo rispetto alla tensione. La potenza istantanea è sempre una sinusoide di frequenza doppia, ma alternativamente positiva e negativa.
Con carico puramente capacitivo (solo condensatore), la corrente è in quadratura in anticipo sulla tensione, e la potenza istantanea ha un andamento simile a quello del caso precedente, ma opposto.
Due sinusoidi sono in quadratura quando sono sfasate di π/2 (90°) l'una rispetto all'altra. Ciò fa sì che agli zeri dell'una corrispondano i massimi (minimi) dell'altra.
1.3 - Potenza ed energia
Osserviamo ancora la curva della potenza. Abbiamo detto che \(P = \frac{\Delta L}{\Delta t}\) e quindi:
\[\Delta L = P \cdot \Delta t\]
Un intervallo di tempo Δt individua un'area rettangolare sotto la sinusoide, con base Δt e altezza pari al valore della potenza istantanea P. Quest'area, P·Δt, non è altro che l'energia o il lavoro scambiati nell'intervallo di tempo Δt.
Attività 3
Sommando gli intervalli fino a coprire tutto il periodo (considerando Δt molto piccolo) si ottiene l' area della superficie delimitata dall'asse delle ascisse t e dalla sinusoide. Essa corrisponde alla quantità di energia scambiata (prodotta, utilizzata) in un periodo T.
1.4 - Potenza attiva
Abbiamo visto che l' area sotto la curva p(t) della potenza istantanea, corrisponde all'energia che, ad esempio, viene trasferita dal generatore all'utilizzatore. La potenza media è quel valore di P, costante nel tempo, che trasferisce la stessa quantità di energia (area del rettangolo, eventualmente divisa per ω, se la rappresentazione è in funzione dell'angolo ωt) della potenza istantanea.
Si nota che il valore medio della potenza diminuisce all'aumentare dello sfasamento tra tensione e corrente. Cioè la potenza media, e quindi l'energia trasferita, passa da una valore massimo, quando V e I sono in fase, al valore zero con le grandezze in quadratura.
Attività 4
Con corrente e tensione in fase è facile valutare la potenza media Pm, perchè il rettangolo che presenta la stessa area limitata dalla
sinusoide (e quindi la stessa energia) ha un'altezza pari alla metà del valore massimo della potenza \[ P_m = \frac {V_M I_M} {2} \]
Ricordando che i valori efficaci (RMS: Root Mean Square) di tensione e corrente sono definiti come
\[V = \frac{V_M}{\sqrt{2}}\;\; \;\;\;\;\; I = \frac{I_M}{\sqrt{2}} \]
si può dire che la potenza attiva, quando, ricordiamo, tensione e corrente sono in fase, è data da:
\[P = P_m = V I \]
Tuttavia lo sfasamento tra tensione e corrente può avere un valore qualsiasi compreso tra -90° e +90°.
In generale la potenza attiva è data da :
\[ P = V I cos \varphi \]
espressione per la quale sulla base di noti teoremi di trigonometria esiste una
dimostrazione analitica
Il \(cos \varphi \) che compare nella formula della potenza è detto fattore di potenza (fdp) o semplicemente cosfì.
Il fattore di potenza ha valori compresi tra 0 e 1, se l'angolo varia tra -90° e + 90° ed è quindi sempre positivo. Pertanto solo dal valore numerico del fdp non si può dedurre il tipo di carico, salvo ovviamente il caso di \(cos \varphi = 1\) (corrente e tensione in fase). Si può quindi precisare il tipo di carico aggiungendo "rit" per corrente in ritardo sulla tensione (utilizzatore ohmico-induttivo), o "ant" per corrente in anticipo sulla tensione (utilizzatore ohmico-capacitivo).
Attività 5
Riprendendo la formula per la potenza attiva:
\[ P = V I cos \varphi \]
Osserviamo che il fattore di potenza rappresenta il rapporto tra l' effettiva Potenza attiva P che si ottiene dal sistema e la massima potenza che si potrebbe ottenere con V e I in fase, cioè con \(cos \varphi = 1\), per cui si avrebbe \(P_{MAX} = V I \):
\[cos \varphi = \frac{P}{V I} \]
Questo prodotto è normalmente indicato con
\[S = V I \]
e prende il nome di potenza apparente (si veda in seguito).
Ad esempio, cos(φ) = 0.8 significa che si può ottenere una potenza attiva pari all'80% della Potenza apparente.
1.5 - Potenza reattiva
Osserviamo la sinusoide della potenza: per alcuni tratti essa è negativa.
Se ora rappresentiamo anche tensione e corrente sullo stesso grafico, possiamo notare che:
Si può facilmente notare che l'area corrispondente all'energia utile coincide con quella del rettangolo che ha per altezza la potenza media.
Osservando attentamente la figura, riusciremo probabilmente a notare che la potenza media è diminuita proprio della quantità rappresentata dall'area negativa.
Questo significa che esiste una parte dell'energia che, durante alcuni intervalli di tempo è diretta dal generatore (G) verso l'utilizzatore (area positiva), durante altri, dall'utilizzatore (U) al generatore (area negativa).
La quota di potenza che consente questo scambio bidirezionale di energia si dice potenza reattiva.
La potenza reattiva non può essere utilizzata per compiere un Lavoro, in quanto, come si vede, l'energia positiva (G --> U) è esattamente uguale all'energia negativa (U --> G) e quindi il valor medio sul periodo sarà nullo.
Questa energia è funzionale ai sistemi e serve a costruire i campi magnetici o elettrici necessari per il funzionamento dei dispositivi stessi.
La potenza reattiva è misurata in VAR, volt-ampére reattivi.
La questione può essere ancor meglio compresa nei casi di carichi puramente induttivi o puramente capacitivi.
a - carico puramente induttivo
Durante il primo quarto di periodo la corrente è negativa (U --> G) e passa dal valore massimo a zero: in questa fase il campo magnetico dell'induttore sta diminuendo fino a raggiungere il valore zero. L'energia accumulata dal campo viene restituita al generatore (potenza negativa).
Nel quarto di periodo successivo, la corrente cresce fino al valore massimo, la potenza è positiva, l'energia è diretta verso l'utilizzatore (G --> U) e serve a costruire il campo magnetico dell'induttore. Nei quarti successivi le vicende si ripetono a ruoli invertiti.
b - carico puramente capacitivo
Nel primo quarto di periodo il condensatore si carica (la corrente passa dal valore massimo a zero) e quindi si deve formare il campo elettrico tra le armature. Infatti l'energia e la potenza sono positive (G --> U). Nel quarto successivo, invece, il condensatore si scarica, il campo elettrico progressivamente si annulla e la sua energia deve essere restituita al generatore. Potenza ed energia sono quindi negative (U --> G). Anche qui, nei quarti successivi le vicende si ripetono a polarità invertite.
Per la potenza reattiva non si può utilizzare il valore medio sul periodo, come si è fatto per la potenza attiva, poichè esso è nullo.
Si definisce allora la potenza reattiva come:
\[Q = V I sin \varphi \]
(si rimanda alla dimostrazione per approfondire)
La potenza reattiva ha un segno: essa è considerata positiva per carichi induttivi o ohmico-induttivi, negativa per carichi capacitivi o ohmico-capacitivi.
1.6 - Potenza apparente e triangolo delle potenze
La potenza apparente non ha un vero e proprio significato fisico se non quello, precedentemente attribuito, di rappresentare la massima potenza attiva ottenibile da un sistema elettrico in corrente alternata (sinusoidale).
Questa situazione si presenta quando tensione e corrente sono in fase.
La potenza apparente è definita dalla relazione:
\[S = V I \]
si misura in volt-ampére [VA] e, tra l'altro, è la potenza secondo la quale si dimensionano i dispositivi elettrici.
Le relazioni che si hanno tra potenza apparente, attiva e reattiva sono:
\begin{align}S &= V I\\P & = V I cos \varphi \\Q & = V I sin \varphi \\ \end{align}
Esse possono essere pensate come relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo di cui S è l'ipotenusa, P e Q i cateti, per cui:
\begin{align}S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\P & = S cos \varphi \\Q & = S sin \varphi \\ \end{align}
Grazie alle relazioni precedenti è quindi possibile costruire un triangolo detto
triangolo delle potenze.
1.7 - La potenza complessa
Per comprendere quanto segue è necessario avere una conoscenza, almeno di base, della teoria dei numeri complessi.
Dette \(\alpha \) e \(\beta \) le fasi rispettivamente di tensione e corrente, è noto che i loro fasori sono in corrispondenza con i numeri complessi, rappresentati qui di seguito in forma algebrica:
\begin{align} \mathbf V & = V cos \alpha + j V sin \alpha = V \angle \alpha \\ \mathbf I &= I cos \beta + j I sin \beta = I \angle \beta \\ \end{align}
e polare:
\begin{align} \mathbf V & = V \angle \alpha \\ \mathbf I &= I \angle \beta \\ \end{align}
Dalla teoria dei numeri complessi è noto che la moltiplicazione tra due di essi, in forma esponenziale o polare, ha come risultato il prodotto dei moduli e la somma algebrica degli angoli.
Se si facesse il prodotto \(V \angle \alpha \cdot I \angle \beta\) si otterrebbe \( V I \angle (\alpha + \beta) \).
Se invece si considera il complesso coniugato della corrente:
\[\mathbf {I^{*}} = I cos \beta - j I sin \beta = I \angle-\beta\]
Il prodotto tra la tensione e il complesso coniugato della corente sarebbe:
\[\mathbf {V \cdot I^{*}} = V I \angle (\alpha-\beta)\]
ma l'angolo \(\varphi\) tra tensione e corrente è dato dalla differenza algebrica delle due fasi e cioè:
\[\varphi = \alpha - \beta\]
e quindi:
\[\mathbf {V \cdot I^{*}} = V I \angle \varphi \]
Per tale ragione si considera come potenza complessa proprio il prodotto
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I \angle \varphi \]
il quale, se viene espresso in forma algebrica dà:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos \varphi + j V I sin \varphi \]
cioè:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = P + j Q \]
Se si ricerca una giustificazone trigonometrica di quanto sopra si può osservare che:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = (V cos \alpha + j V sin \alpha) (I cos \beta - j I sin \beta) \]
Eseguendo i prodotti, raccogliendo i fattori comuni e ricordando che \(j^2 = -1\):
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I (cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) +j V I (sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta) \]
la prima espressione tra parentesi tonde è la formula della differenza del coseno,mentre la seconda è la formula di differenza del seno, per cui:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos (\alpha-\beta) + j V I sin (\alpha-\beta) \]
e nuovamente si ottiene:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos \varphi + j V I sin \varphi \]
e
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = P + j Q \]
1.8 - Additività delle potenze: teorema di Boucherot
Vale per le potenze questo importante teorema che discende da principi generali come quello della conservazione dell'energia e della carica elettrica.
La potenza complessa globalmente assorbita dalle impedenze di una rete è uguale alla somma delle singole potenze complesse assorbite da ciascuna impedenza
\[\mathbf{S = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n}\]
Esplicitando:
\begin{split}\mathbf S &= \mathbf{S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n =}\\ &= ( P_1 \pm j Q_1) + (P_2 \pm j Q_2) + (P_3 \pm j Q_3) + ...+ (P_n \pm j Q_n) =\\&= (P_1 + P_2 + P_3 + ...+ P_n) + j (Q_1 \pm Q_2 \pm Q_3 \pm ...\pm Q_n) \end{split}
Quanto sopra si traduce in alcune regole di calcolo che vanno sempre applicate e che si possono così enunciare:
a) In una generica rete elettrica le potenze attive si sommano aritmeticamente:
\[{P = P_1 + P_2 + P_3 + ... + P_n}\]
b) In una generica rete elettrica le potenze reattive si sommano algebricamente
\[{Q = Q_1 \pm Q_2 \pm Q_3 \pm ... \pm Q_n}\]
il segno delle potenze reattive dipende dal tipo di carico. Esso è positivo per carichi di tipo induttivo (o ohmico-induttivo), negativo per carichi di tipo capacitivo (o ohmico-capacitivo).
1.9 - Argomenti correlati, libri, approfondimenti e ricerche
1.1 - Definizione generale di potenza
Chiamiamo potenza la rapidità con cui un qualsiasi dispositivo è in grado di produrre o utilizzare l'energia, sotto forma di lavoro, e cioè:
\[{P = \frac{\Delta L}{\Delta t}} \]
dove ΔL, misurato in joule, è la quantità di lavoro compiuto o assorbito nell'intervallo di tempo Δt secondi. L'unità di misura della potenza è il "watt" che dimensionalmente equivale a [ J]/[s].
1.2 - Potenza elettrica istantanea
Nei sistemi elettrici, e in particolare in corrente continua dove tensione e intensità di corrente sono costanti nel tempo, la potenza è data dall'espressione:
\[P = \frac{ \Delta Q\cdot V }{\Delta t}= V\frac{ \Delta Q }{\Delta t} = V I\]
in questo caso anche P è una grandezza costante nel tempo.
In corrente alternata bisogna tener conto del fatto che tensione e corrente dipendono dal tempo secondo opportune leggi:
\[{v(t) = V_M \;sin(\omega t + \alpha )} \] \[{i(t) = I_M \;sin(\omega t + \beta)}\]
che sono funzioni sinusoidali del tempo.
Attività 1
Definiremo allora una potenza istantanea come prodotto:
\[p(t) = v(t) i(t)\]
che, come si vede, è ancora rappresentato da una sinusoide, però con frequenza doppia rispetto a quella di tensione e corrente.
In relazione al tipo di carico (ohmico, induttivo, capacitivo, ecc), tensione e corrente presenteranno rapporti di fase diversi, fatto che avrà importanti ripercussioni sulla potenza.
Attività 2
Per un carico puramente ohmico (solo resistenza) osserviamo che le curve di tensione e corrente sono in fase: zeri, massimi e minimi si corrispondono. In questo caso la potenza istantanea ha l'aspetto di una sinusoide di frequenza doppia, traslata in modo da essere tutta positiva.
Se il carico è puramente induttivo (solo induttore) la corrente è in quadratura in ritardo rispetto alla tensione. La potenza istantanea è sempre una sinusoide di frequenza doppia, ma alternativamente positiva e negativa.
Con carico puramente capacitivo (solo condensatore), la corrente è in quadratura in anticipo sulla tensione, e la potenza istantanea ha un andamento simile a quello del caso precedente, ma opposto.
Due sinusoidi sono in quadratura quando sono sfasate di π/2 (90°) l'una rispetto all'altra. Ciò fa sì che agli zeri dell'una corrispondano i massimi (minimi) dell'altra.
1.3 - Potenza ed energia
Osserviamo ancora la curva della potenza. Abbiamo detto che \(P = \frac{\Delta L}{\Delta t}\) e quindi:
\[\Delta L = P \cdot \Delta t\]
Un intervallo di tempo Δt individua un'area rettangolare sotto la sinusoide, con base Δt e altezza pari al valore della potenza istantanea P. Quest'area, P·Δt, non è altro che l'energia o il lavoro scambiati nell'intervallo di tempo Δt.
Attività 3
Sommando gli intervalli fino a coprire tutto il periodo (considerando Δt molto piccolo) si ottiene l' area della superficie delimitata dall'asse delle ascisse t e dalla sinusoide. Essa corrisponde alla quantità di energia scambiata (prodotta, utilizzata) in un periodo T.
1.4 - Potenza attiva
Abbiamo visto che l' area sotto la curva p(t) della potenza istantanea, corrisponde all'energia che, ad esempio, viene trasferita dal generatore all'utilizzatore. La potenza media è quel valore di P, costante nel tempo, che trasferisce la stessa quantità di energia (area del rettangolo, eventualmente divisa per ω, se la rappresentazione è in funzione dell'angolo ωt) della potenza istantanea.
Si nota che il valore medio della potenza diminuisce all'aumentare dello sfasamento tra tensione e corrente. Cioè la potenza media, e quindi l'energia trasferita, passa da una valore massimo, quando V e I sono in fase, al valore zero con le grandezze in quadratura.
Attività 4
Con corrente e tensione in fase è facile valutare la potenza media Pm, perchè il rettangolo che presenta la stessa area limitata dalla
sinusoide (e quindi la stessa energia) ha un'altezza pari alla metà del valore massimo della potenza \[ P_m = \frac {V_M I_M} {2} \]
Ricordando che i valori efficaci (RMS: Root Mean Square) di tensione e corrente sono definiti come
\[V = \frac{V_M}{\sqrt{2}}\;\; \;\;\;\;\; I = \frac{I_M}{\sqrt{2}} \]
si può dire che la potenza attiva, quando, ricordiamo, tensione e corrente sono in fase, è data da:
\[P = P_m = V I \]
Tuttavia lo sfasamento tra tensione e corrente può avere un valore qualsiasi compreso tra -90° e +90°.
In generale la potenza attiva è data da :
\[ P = V I cos \varphi \]
espressione per la quale sulla base di noti teoremi di trigonometria esiste una
dimostrazione analitica
Il \(cos \varphi \) che compare nella formula della potenza è detto fattore di potenza (fdp) o semplicemente cosfì.
Il fattore di potenza ha valori compresi tra 0 e 1, se l'angolo varia tra -90° e + 90° ed è quindi sempre positivo. Pertanto solo dal valore numerico del fdp non si può dedurre il tipo di carico, salvo ovviamente il caso di \(cos \varphi = 1\) (corrente e tensione in fase). Si può quindi precisare il tipo di carico aggiungendo "rit" per corrente in ritardo sulla tensione (utilizzatore ohmico-induttivo), o "ant" per corrente in anticipo sulla tensione (utilizzatore ohmico-capacitivo).
Attività 5 Riprendendo la formula per la potenza attiva:
\[ P = V I cos \varphi \]
Osserviamo che il fattore di potenza rappresenta il rapporto tra l' effettiva Potenza attiva P che si ottiene dal sistema e la massima potenza che si potrebbe ottenere con V e I in fase, cioè con \(cos \varphi = 1\), per cui si avrebbe \(P_{MAX} = V I \):
\[cos \varphi = \frac{P}{V I} \]
Questo prodotto è normalmente indicato con
\[S = V I \]
e prende il nome di potenza apparente (si veda in seguito).
Ad esempio, cos(φ) = 0.8 significa che si può ottenere una potenza attiva pari all'80% della Potenza apparente.
1.5 - Potenza reattiva
Osserviamo la sinusoide della potenza: per alcuni tratti essa è negativa.
Se ora rappresentiamo anche tensione e corrente sullo stesso grafico, possiamo notare che:
- la potenza è negativa quando tensione e corrente hanno segni (versi) discordi
- la potenza media è diminuita rispetto al caso con V e I in fase
- il valore della potenza media è pari a \(V I cos(\varphi)\)
Si può facilmente notare che l'area corrispondente all'energia utile coincide con quella del rettangolo che ha per altezza la potenza media.
Osservando attentamente la figura, riusciremo probabilmente a notare che la potenza media è diminuita proprio della quantità rappresentata dall'area negativa.
Questo significa che esiste una parte dell'energia che, durante alcuni intervalli di tempo è diretta dal generatore (G) verso l'utilizzatore (area positiva), durante altri, dall'utilizzatore (U) al generatore (area negativa).
La quota di potenza che consente questo scambio bidirezionale di energia si dice potenza reattiva.
La potenza reattiva non può essere utilizzata per compiere un Lavoro, in quanto, come si vede, l'energia positiva (G --> U) è esattamente uguale all'energia negativa (U --> G) e quindi il valor medio sul periodo sarà nullo.
Questa energia è funzionale ai sistemi e serve a costruire i campi magnetici o elettrici necessari per il funzionamento dei dispositivi stessi.
La potenza reattiva è misurata in VAR, volt-ampére reattivi.
La questione può essere ancor meglio compresa nei casi di carichi puramente induttivi o puramente capacitivi.
a - carico puramente induttivo
Durante il primo quarto di periodo la corrente è negativa (U --> G) e passa dal valore massimo a zero: in questa fase il campo magnetico dell'induttore sta diminuendo fino a raggiungere il valore zero. L'energia accumulata dal campo viene restituita al generatore (potenza negativa).
Nel quarto di periodo successivo, la corrente cresce fino al valore massimo, la potenza è positiva, l'energia è diretta verso l'utilizzatore (G --> U) e serve a costruire il campo magnetico dell'induttore. Nei quarti successivi le vicende si ripetono a ruoli invertiti.
b - carico puramente capacitivo
Nel primo quarto di periodo il condensatore si carica (la corrente passa dal valore massimo a zero) e quindi si deve formare il campo elettrico tra le armature. Infatti l'energia e la potenza sono positive (G --> U). Nel quarto successivo, invece, il condensatore si scarica, il campo elettrico progressivamente si annulla e la sua energia deve essere restituita al generatore. Potenza ed energia sono quindi negative (U --> G). Anche qui, nei quarti successivi le vicende si ripetono a polarità invertite.
Per la potenza reattiva non si può utilizzare il valore medio sul periodo, come si è fatto per la potenza attiva, poichè esso è nullo.
Si definisce allora la potenza reattiva come:
\[Q = V I sin \varphi \]
(si rimanda alla dimostrazione per approfondire)
La potenza reattiva ha un segno: essa è considerata positiva per carichi induttivi o ohmico-induttivi, negativa per carichi capacitivi o ohmico-capacitivi.
1.6 - Potenza apparente e triangolo delle potenze
La potenza apparente non ha un vero e proprio significato fisico se non quello, precedentemente attribuito, di rappresentare la massima potenza attiva ottenibile da un sistema elettrico in corrente alternata (sinusoidale).
Questa situazione si presenta quando tensione e corrente sono in fase.
La potenza apparente è definita dalla relazione:
\[S = V I \]
si misura in volt-ampére [VA] e, tra l'altro, è la potenza secondo la quale si dimensionano i dispositivi elettrici.
Le relazioni che si hanno tra potenza apparente, attiva e reattiva sono:
\begin{align}S &= V I\\P & = V I cos \varphi \\Q & = V I sin \varphi \\ \end{align}
Esse possono essere pensate come relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo di cui S è l'ipotenusa, P e Q i cateti, per cui:
\begin{align}S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\P & = S cos \varphi \\Q & = S sin \varphi \\ \end{align}
Grazie alle relazioni precedenti è quindi possibile costruire un triangolo detto
triangolo delle potenze.
1.7 - La potenza complessa
Per comprendere quanto segue è necessario avere una conoscenza, almeno di base, della teoria dei numeri complessi.
Dette \(\alpha \) e \(\beta \) le fasi rispettivamente di tensione e corrente, è noto che i loro fasori sono in corrispondenza con i numeri complessi, rappresentati qui di seguito in forma algebrica:
\begin{align} \mathbf V & = V cos \alpha + j V sin \alpha = V \angle \alpha \\ \mathbf I &= I cos \beta + j I sin \beta = I \angle \beta \\ \end{align}
e polare:
\begin{align} \mathbf V & = V \angle \alpha \\ \mathbf I &= I \angle \beta \\ \end{align}
Dalla teoria dei numeri complessi è noto che la moltiplicazione tra due di essi, in forma esponenziale o polare, ha come risultato il prodotto dei moduli e la somma algebrica degli angoli.
Se si facesse il prodotto \(V \angle \alpha \cdot I \angle \beta\) si otterrebbe \( V I \angle (\alpha + \beta) \).
Se invece si considera il complesso coniugato della corrente:
\[\mathbf {I^{*}} = I cos \beta - j I sin \beta = I \angle-\beta\]
Il prodotto tra la tensione e il complesso coniugato della corente sarebbe:
\[\mathbf {V \cdot I^{*}} = V I \angle (\alpha-\beta)\]
ma l'angolo \(\varphi\) tra tensione e corrente è dato dalla differenza algebrica delle due fasi e cioè:
\[\varphi = \alpha - \beta\]
e quindi:
\[\mathbf {V \cdot I^{*}} = V I \angle \varphi \]
Per tale ragione si considera come potenza complessa proprio il prodotto
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I \angle \varphi \]
il quale, se viene espresso in forma algebrica dà:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos \varphi + j V I sin \varphi \]
cioè:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = P + j Q \]
Se si ricerca una giustificazone trigonometrica di quanto sopra si può osservare che:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = (V cos \alpha + j V sin \alpha) (I cos \beta - j I sin \beta) \]
Eseguendo i prodotti, raccogliendo i fattori comuni e ricordando che \(j^2 = -1\):
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I (cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) +j V I (sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta) \]
la prima espressione tra parentesi tonde è la formula della differenza del coseno,mentre la seconda è la formula di differenza del seno, per cui:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos (\alpha-\beta) + j V I sin (\alpha-\beta) \]
e nuovamente si ottiene:
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = V I cos \varphi + j V I sin \varphi \]
e
\[\mathbf {S = V \cdot I^{*}} = P + j Q \]
1.8 - Additività delle potenze: teorema di Boucherot
Vale per le potenze questo importante teorema che discende da principi generali come quello della conservazione dell'energia e della carica elettrica.
La potenza complessa globalmente assorbita dalle impedenze di una rete è uguale alla somma delle singole potenze complesse assorbite da ciascuna impedenza
\[\mathbf{S = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n}\]
Esplicitando:
\begin{split}\mathbf S &= \mathbf{S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n =}\\ &= ( P_1 \pm j Q_1) + (P_2 \pm j Q_2) + (P_3 \pm j Q_3) + ...+ (P_n \pm j Q_n) =\\&= (P_1 + P_2 + P_3 + ...+ P_n) + j (Q_1 \pm Q_2 \pm Q_3 \pm ...\pm Q_n) \end{split}
Quanto sopra si traduce in alcune regole di calcolo che vanno sempre applicate e che si possono così enunciare:
a) In una generica rete elettrica le potenze attive si sommano aritmeticamente:
\[{P = P_1 + P_2 + P_3 + ... + P_n}\]
b) In una generica rete elettrica le potenze reattive si sommano algebricamente
\[{Q = Q_1 \pm Q_2 \pm Q_3 \pm ... \pm Q_n}\]
il segno delle potenze reattive dipende dal tipo di carico. Esso è positivo per carichi di tipo induttivo (o ohmico-induttivo), negativo per carichi di tipo capacitivo (o ohmico-capacitivo).
1.9 - Argomenti correlati, libri, approfondimenti e ricerche
