Sistemi trifase simmetrici ed equilibrati

Il Sistema Trifase

Introduzione ai sistemi trifase simmetrici ed equilibrati

Sintesi: introduzione al sistema trifase, che rappresenta la tecnologia comunemente usata per la trasmissione e l'utilizzazione dell'energia elettrica. Qui parliamo di come generare un sistema trifase simmetrico nelle tensioni ed equilibrato per quanto riguarda le correnti. Ci occupiamo poi delle caratteristiche dei collegamenti a stella e a triangolo delle fasi.

Convenzioni tipografiche. Usiamo lettere puntate, ad esempio \(\small \dot{V},\, \dot{I},\, \dot{Z}\) per rappresentare fasori e operatori complessi. La stessa notazione rappresenta anche i corrispondenti numeri complessi ( es. \(\small \dot{Z} = R +j\,X\)). Riserviamo però la notazione standard per i vettori rotanti (es \(\small \vec{I}, \vec{V}\)).
Lettere non puntate indicano i moduli di grandezze complesse o vettoriali (es. \(\small Z = \sqrt{R^2 + X^2}\)).
Per l'unità immaginaria, in luogo della lettera \(\small i = \sqrt{-1}\) come in matematica, utilizzeremo qui la lettera \(\small j = \sqrt{-1}\). Quando desideriamo mettere in evidenza la dipendenza funzionale da altre grandezze come il tempo, usiamo lettere minuscole, cosi ad esempio: \(\small v(t) = V_M\,sin(\omega t)\).

1.1 - Generazione di una forza elettromotrice alternata sinusoidale

Ricordiamo brevemente alcuni punti fondamentali relativi alla generazione di fem alternate sinusoidali. Per informazioni più dettagliate può essere utile consultare: Corrente Alternata 1: grandezze elettriche sinusoidali.
Per generare una fem, secondo la legge dell'induzione elettromagnetica, dobbiamo produrre un moto relativo tra un campo magnetico ed un conduttore o un circuito elettrico⁽¹⁾. Tecnicamente la cosa più conveniente consiste nel far ruotare, con velocità angolare costante (moto circolare uniforme), un conduttore dentro un campo magnetico. Diciamo anche che è del tutto indifferente se sia il conduttore a muoversi rispetto ad un campo magnetico, o viceversa. Ciò che importa, ai fini della generazione della fem indotta, è il moto relativo tra campo magnetico e conduttore.

La forza elettromotrice indotta è espressa in generale dalla legge di Faraday:
\[e(t) = - \frac{\Delta\,\Phi(t)}{\Delta\,t} \] o dalla legge, detta formula dei generatori, più adatta allo studio del nostro caso: \[e(t) = Blv \; sin(\omega t) \] Il moto rotatorio del conduttore all'interno del campo magnetico B, induce nel conduttore stesso una fem alternata sinusoidale che ha forma:
\[e(t) = Blv \; sin(\omega t + \psi) = U_M\,sin(\omega t + \psi) \] dove l'ampiezza \(\small U_M\) è data da \(\small B\,l\,v\) e \(\small \psi\) rappresenta l'angolo di fase che determina il valore della funzione all'istante iniziale.
E' anche noto che le sinusoidi sono rappresentabili attraverso vettori rotanti con velocità angolare \(\small \omega\), coincidente con la pulsazione della sinusoide.
I vettori rotanti considerati all'istante iniziale (istantanea del sistema al tempo t = 0) e aventi modulo pari al valore efficace della grandezza prendono il nome di fasori.

1.2 - Generazione di un sistema simmetrico di tensioni trifase

L'efficienza di un generatore di tensione alternata (alternatore) può essere migliorata passando dal sistema monofase al trifase, che consente di sfruttare meglio la geometria della macchina (anche se non è questa l'unica ragione per cui si utilizza il sistema trifase). Perchè il generatore sia utilizzabile praticamente, i lati attivi devono comunicare con l'esterno. Nel caso della nostra 'macchina didattica' abbiamo bisogno di un sistema di anelli collettori coassiali e rotanti con il sistema mobile (il rotore), su cui poggiano le spazzole (contatti striscianti realizzati in genere in grafite). Ogni anello collettore è collegato con il corrispondente lato attivo, il quale, attraverso questo sistema, può alimentare un circuito esterno.
Tuttavia perchè possa circolare corrente il circuito deve essere chiuso e quindi le fasi generatrici vanno collegate tra loro in qualche modo, per esempio con un collegamento a stella. In questo caso, come vedremo, possiamo anche disporre di un quarto anello per connettere con il centro-stella il conduttore detto 'neutro' N (conduttore 0).
Nella realizzazione tecnologica di un alternatore si usa tuttavia una disposizione diversa: le fasi (l'indotto) sono fisse e collocate nella parte statica (statore) della macchina, mentre il sistema induttore (il campo magnetico) ruota (rotore) all'interno dello statore.
Questo rende più agevole il prelievo delle correnti e tensioni prodotte dal generatore, che possono essere collegate direttamente all'esterno senza l'intermediazione di spazzole e anelli, componenti intrinsecamente fragili e soggetti a frequente manutenzione.
In gergo tecnico ogni lato attivo, fascio di conduttori o avvolgimento ove si forma la fem sinusoidale è detto 'fase' o 'fase generatrice'. In una macchina trifase avremo appunto tre di queste fasi poste ad una distanza angolare di 120°, \(\small \dfrac{2\,\pi}{3}\) radianti tra loro⁽²⁾ .
Nella nostra schematizzazione didattica le fasi generatrici sono rappresentate dai tre lati attivi R, S e T, su ognuno dei quali si forma una fem alternata sinusoidale, detta tensione di fase, che indicheremo con \(\small U_1\) per la fase R, \(\small U_2\) per la fase S e \(\small U_3\) per la fase T.
Avremo allora:

Fase R (fase 1) \(\qquad \qquad u_1(t) = U_{1M} \; sin(\omega t) \)

Fase S (fase 2) \(\qquad \qquad u_2(t) = U_{2M} \; sin\left(\omega t - \dfrac{2\,\pi}{3}\right) \)

Fase T (fase 3) \(\qquad \qquad u_3(t) = U_{3M} \; sin\left(\omega t - \dfrac{4\,\pi}{3}\right) = U_{3M} \; sin\left(\omega t + \dfrac{2\,\pi}{3}\right) \)

Le tre sinusoidi sono convenientemente descritte dai tre vettori rotanti \(\small \vec{U}_1\), \(\small \vec{U}_2\) , \(\small \vec{U}_3\) , o dai rispettivi fasori. Il sistema di tensioni così prodotto viene detto simmetrico proprio perchè si tratta di tensioni uguali in modulo e ugualmente sfasate (120°) tra di loro.

Come è noto i vettori rotanti presenti in uno stesso diagramma hanno la stessa frequenza. I corrispettivi fasori possono essere rappresentati da numeri complessi. Ad esempio nella situazione iniziale qui rappresentata, detto \(\small U_i \quad i=1,2,3\) il modulo (uguale) dei tre fasori, corrispondente ai valori efficaci \(\small U_i= \dfrac{U_{iM}}{\sqrt{2}}\) avremo:

Fase R (fase 1) \(\qquad \qquad \dot{U_1} = U_{1} \; [cos(0) + j\,sin(0)] \)

Fase S (fase 2) \(\qquad \qquad \dot{U_2} = U_{2} \; \left[cos\left(-\dfrac{2\,\pi}{3}\right) + j\,sin\left(-\dfrac{2\,\pi}{3}\right)\right] \)

Fase T (fase 3) \(\qquad \qquad \dot{U_3} = U_{3} \; \left[cos\left(\dfrac{2\,\pi}{3}\right) + j\,sin\left(\dfrac{2\,\pi}{3}\right)\right] \)

Eseguendo i calcoli, detto \(\small U\) il modulo comune dei tre fasori, dalle formule precedenti otteniamo:

Fase R (fase 1) \(\qquad \qquad \dot{U_1} = U + j\,0 \)

Fase S (fase 2) \(\qquad \qquad \dot{U_2}= -\dfrac{1}{2}U - j\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,U \)

Fase T (fase 3) \(\qquad \qquad \dot{U_3}= \dfrac{1}{2}U + j\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,U \)

Se, ad esempio, U = 230 V avremo:

Fase R (fase 1) \(\qquad \qquad \dot{U_1} = 230 + j\,0 \quad V \)

Fase S (fase 2) \(\qquad \qquad \dot{U_2}= -115 - j\,199 \quad V \)

Fase T (fase 3) \(\qquad \qquad \dot{U_3}= 115 + j\,199 \quad V \)

Attività 1

1.3 - Collegamento delle fasi.

Come detto, i tre lati attivi, che quindi d'ora in poi chiameremo fasi, devono essere collegati tra loro e con l'esterno.
Il collegamento verso l'esterno, in un caso come quello che stiamo studiando, dovrebbe essere realizzato mediante un sistema di tre anelli, ognuno collegato con una fase, su cui strisciano le spazzole collegate ai circuiti esterni.

Attività 2

I collegamenti interni tra le fasi sono di due tipi: a stella e a triangolo.

1.4 - Collegamento a stella

Fig. 1 - Le tensioni di fase e di linea (concatenate) nel collegamento a stella

Il collegamento a stella comporta che tre terminali corrispondenti delle fasi siano collegati ad uno stesso punto, che prende il nome di centro stella. In questo caso le tensioni di fase \(\small U_1\), \(\small U_2\) e \(\small U_3\) sono anche dette tensioni stellate (spesso indicate anche con \(\small E_1\), \(\small E_2\) e \(\small E_3\)). In questo modo disponiamo di due sistemi di tensioni:

le tensioni di fase \(\small U_1\), \(\small U_2\) e \(\small U_3\), già citate, misurate tra gli estremi liberi (R (1),S (2) e T (3)) dei lati attivi e il centro stella;
le tensioni concatenate \(\small U_{12}\), \(\small U_{23}\) e \(\small U_{31}\), che potremmo anche designare come: \(\small U_{RS}\), \(\small U_{ST}\) e \(\small U_{TR}\), misurate tra coppie di estremi liberi dei lati attivi (R-S, S-T e T-R, appunto).

Osservando, figura 1, che l'angolo, ad esempio tra \(\small \dot{U_1}\) e \(\small \dot{U_2}\) è di 120°, mentre gli angoli tra \(\small \dot{U_1}\) e \(\small \dot{U_{12}}\) e tra \(\small \dot{U_2}\) e \(\small \dot{U_{12}}\) sono di 30°, si può ricavare la relazione tra i moduli delle tensioni di fase e concatenate.
Detto \(\small U = U_1 = U_2 = U_3\) il modulo comune alle tre tensioni di fase, abbiamo:
\[ U_{12} = 2\,U\,cos\,30° = 2\,U\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,U \] ovvero, sinteticamente, poiché le tensioni concatenate sono anche dette tensioni di linea:
\[ U_{linea} = \sqrt{3}\,U_{fase} \] Poiché spesso le tensioni di linea sono indicate con la lettera V (in genere con doppi indici) e quelle di fase con E, riportiamo anche la relazione: \[ V = \sqrt{3}\,E \]

Fig. 2 - Traslazione delle tensioni concatenate.

Relativamente alla numerazione degli indici notiamo come sia rispettato il senso ciclico: 1-2, 2-3, 3-1, oppure R-S, S-T, T-R, ciò per conformarsi al succedersi dei ritardi:
1 -> 2 -> 3 -> 1, R -> S -> T -> R: infatti vediamo "passare" prima R, poi S poi T poi ancora R, ecc; S è in ritardo su R, T è in ritardo su S, e così via.

I vettori rappresentativi delle tensioni concatenate si possono ottenere come differenza delle tensioni di fase:

\(\qquad \qquad \dot{U_{12}} = \dot{U_1}-\dot{U_2} \)
\(\qquad \qquad \dot{U_{23}}= \dot{U_2}-\dot{U_3} \)
\(\qquad \qquad \dot{U_{31}}= \dot{U_3}-\dot{U_1} \)

Le tensioni di fase e concatenate possono anche essere rappresentate da vettori applicati tutti al centro stella vettoriale come nella figura successiva. Da qui si vede chiaramente che le tensioni concatenate sono in anticipo di 30° sulle tensioni di fase.

Se vogliamo esprimere matematicamente la relazione tra i due sistemi di tensioni, per la corretta rappresentazione dei fasori corrispondenti, dobbiamo fare ricorso all'operatore di rotazione antioraria di 30°:
\[ \rho \angle 30°= e^{j\,\small{\dfrac{\pi}{6}}} = cos\,\frac{\pi}{6} + j\,sin\,\frac{\pi}{6}\] In tal caso qualsiasi vettore \(\small \dot{U}_{k\,l}\) (k e l sono indici che possono assumere i valori 1,2 e 3, permutati in senso ciclico: 12-23-31) potrà essere espresso come:
\[ \dot{U}_{k\,l} = \sqrt{3}\,\dot{U}_{k}\, \rho \angle 30° \qquad k,l = \{1,2,3\}\] riportiamo anche l'altra possibile notazione:
\[ \dot{V}_{k\,l} = \sqrt{3}\,\dot{E}_{k}\, \rho \angle 30° \qquad k,l = \{1,2,3\}\]
cioè: le tensioni concatenate hanno modulo \(\small \sqrt{3}\) volte maggiore di quelle di fase e sono sfasate in anticipo di 30° su queste ultime.

Fig. 3 - Tre generatori collegati a stella

Possiamo pensare all'alternatore con le fasi collegate a stella come ad un insieme di tre generatori di tensione, \(\small U_1\,,U_2\,,U_3\) che forniscono fem uguali \(\small U\) e sfasate tra loro di 120°.
Ad esempio, se \(\small \dot{U}_1 = 230 \angle 0° \), \(\small \dot{U}_2 = 230 \angle -120° \) e \(\small \dot{U}_3 = 230 \angle +120° \), secondo quanto detto avremo che:

\(\small \dot{U}_{12} = \sqrt{3}\,\dot{U}_1\, \rho \angle 30° = 400 \angle 30°\) V, \(\small \dot{U}_{23} = \sqrt{3}\,\dot{U}_2\, \rho \angle 30° = 400 \angle -90°\) V e \(\small \dot{U}_{31} = \sqrt{3}\,\dot{U}_3\, \rho \angle 30° = 400 \angle 150°\) V

Dallo schema a destra, che raffigura il modo con cui solitamente si rappresenta un collegamento a stella, dovrebbe risultare anche evidente che le tensioni concatenate o di linea \(\small \dot{U}_{k\,l}\) si ottengono per differenza⁽⁴⁾ delle tensioni di fase di pari indici:
\(\small \dot{U}_{k\,l} = \dot{U}_k - \dot{U}_l\) ad esempio: \(\small \dot{U}_{1\,2} = \dot{U}_1 - \dot{U}_2\) e similmente per le altre.

Dal centro stella O è possibile derivare un quarto conduttore che prende il nome di neutro N e spesso viene indicato con la cifra 0.
Le tensioni di fase possono quindi anche essere viste come le differenze di potenziale tra una fase ed il neutro:

\(\qquad \qquad \dot{U_{1}} = \dot{U_{1 0}} \qquad \qquad \dot{E_{1}} = \dot{E_{1 0}} \)
\(\qquad \qquad \dot{U_{2}}= \dot{U_{20}} \qquad \qquad \dot{E_{2}}= \dot{E_{20}}\)
\(\qquad \qquad \dot{U_{3}}= \dot{U_{30}} \qquad \qquad \dot{E_{3}}= \dot{E_{30}} \)

1.5 - Collegamento a triangolo

Il collegamento a triangolo consiste nel connettere la fine di una fase con l'inizio della fase successiva, fino a realizzare una maglia chiusa.

Nel nostro esempio la fine di R è collegata all'inizio di S, la fine di S all'inizio di T e la fine di T all'inizio di R. Gli inizi di R, S e T sono collegati all'esterno formando così tre nodi.

Fig. 4 - Somma nulla delle tensioni in un sistema simmetrico

In questo tipo di collegamento abbiamo un solo sistema di tensioni, le tensioni di fase, che però sono anche di linea (concatenate):

\[ \dot{U}_{12} = \dot{U}_{RS} = \dot{U}_1 \] \[ \dot{U}_{23} = \dot{U}_{ST} =\dot{U}_2 \] \[ \dot{U}_{31} = \dot{U}_{TR} = \dot{U}_3 \]
Notiamo che:

\(\small \dot{U}_{12} + \dot{U}_{23} + \dot{U}_{31} = \dot{U}_{11}=0\)

cioè la somma delle tre tensioni di fase (e anche delle concatenate) nel triangolo corrisponde alla differenza di potenziale \(\small \dot{U}_{11}\) di un punto (R, in questo caso) rispetto a se stesso e quindi deve necessariamente essere nulla.

Fig. 5 - Generatori collegati a triangolo: le tensioni di fase sono anche concatenate.

Tale somma vettoriale è effettivamente nulla e ciò è vero per qualsiasi sistema di tre vettori uguali in modulo e ugualmente sfasati (120°): lo si può facilmente provare calcolando la somma di due dei tre vettori con la regola del parallelogramma (figura 4) e constatando che la risultante è uguale ed opposta al terzo vettore.
In figura 5 abbiamo una rappresentazione molto usata del collegamento a triangolo. Come gìà detto, in questo caso disponiamo di un solo sistema di tensioni simmetriche che sono allo stesso tempo concatenate e di fase.
L'utilità del collegamento a triangolo, come si vedrà, consiste nel fatto che in questo modo possono essere erogate correnti verso l'esterno che hanno intensità \(\small \sqrt{3}\) volte maggiore di quelle erogate dalle singole fasi generatrici (dai generatori dello schema in fig. 5).

1.6 - Il carico trifase e le correnti

Come si era detto il generatore può erogare correnti e quindi potenza se ai suoi morsetti è connesso un carico elettrico.
Supponiamo, per iniziare, che le fasi del generatore siano collegate a stella. Attraverso gli anelli collettori la macchina può comunicare con l'esterno connettendosi a tre impedenze, che supponiamo identiche e a loro volta collegate a stella e che costituiscono il carico elettrico del generatore.

Attività 3: carico e correnti

Predisponi la simulazione in modo da visualizzare:
a) Il generatore con le fasi collegate a stella
b) gli anelli collettori e la linea trifase
c) il carico formato da tre impedenze collegate a stella.

Spuntando la casella Correnti di fase \(\small \Delta\) (triangolo) e Y (stella), compare la terna di vettori rotanti che rappresentano le correnti, che in questo caso sono sia di linea che di fase.
Specificando meglio:

Le correnti di fase sono quelle che percorrono effettivamente le fasi generatrici nel generatore e le impedenze del carico
Le correnti di linea sono quelle che escono dal generatore, percorrono la linea trifase ed entrano nel carico.

Detto per inciso, negli schemi elettrici, per convenzione le correnti vengono sempre rappresentate da frecce che escono dai generatori e entrano nei carichi.
Il verso effettivo, indicato nel nostro caso dalle frecce presenti sulla linea, è invece determinato dalla posizione dei rispettivi vettori rotanti, considerando positiva la corrente diretta dal generatore al carico, quando il vettore giace al di sopra dell'asse orizzontale (asse reale).
Nota che compaiono due cursori con i quali si può regolare il modulo Z delle impedenze \(\small Z\,\angle \varphi\) e l'angolo \(\small \varphi\) che determina lo sfasamento tra tensioni e correnti, e quindi il carattere ohmico, ohmico-capacitivo o ohmico-induttivo del carico.

Z = \(\small \Omega\)

\(\small \varphi\) = rad

Modifica i valori di questi due parametri e osserva l'effetto nella simulazione.
Prova a fissare Z e \(\small \varphi\) in modo da simulare:

Un carico puramente ohmico
Un carico puramente induttivo
Un carico che assorba una potenza reattiva induttiva esattamente uguale alla potenza attiva ⁽⁵⁾

Il carico è equilibrato, nel senso che le tre impedenze sono identiche, e quindi questo sistema si dice simmetrico (relativamente alle tensioni) ed equilibrato (correnti uguali in modulo ed egualmente sfasate):

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1.7 - Il collegamento a stella: altri dettagli

Abbiamo già esaminato diversi aspetti del collegamento a stella, soprattutto riguardo al generatore. Riassumendo abbiamo visto che:

Vi sono sue sistemi di tensioni: le tensioni di fase \(\small \dot{U}_1,\, \dot{U}_2\,,\dot{U}_3\) (o \(\small \dot{E}_1,\, \dot{E}_2\,,\dot{E}_3\)) e le tensioni concatenate o di linea: \(\small \dot{U}_{12},\, \dot{U}_{23}\,,\dot{U}_{31}\) (o \(\small \dot{V}_{12},\, \dot{V}_{23}\,,\dot{V}_{31}\), useremo preferenzialmente V ed E per i carichi).
Le tensioni di fase si misurano tra fase e centro-stella (neutro), le tensioni di linea tra fase e fase.
Le due terne di tensioni sono simmetriche (condizione sempre ricercata) quando esse sono uguali in modulo ed egualmente sfasate l'una rispetto all'altra di 120°.
Nell'ipotesi che anche il carico sia collegato a stella, esiste un solo sitema di correnti che sono nello stesso tempo di fase e di linea \(\small \dot{I}_1,\, \dot{I}_2\,,\dot{I}_3\).
Il sistema è equilibrato se, essendo identiche le tre impedenze del carico, le correnti sono uguali in modulo ed egualmente sfasate tra di loro di 120°. Tale condizione è altamente auspicabile e ricercata, ma nella pratica è una situazione cui ci si può avvicinare, ma quasi mai raggiungere completamente. In tali casi si parla di sistemi (simmetrici e) squilibrati, la cui trattazione però esula dagli scopi di questo modulo introduttivo.

Fig. 6 - Tensioni e correnti su carico a stella

Le correnti che percorrono le impedenze del carico formano delle cadute di tensione che sono le tensioni di fase del carico: \(\small \dot{E}_1 = \dot{Z}\,\dot{I}_1,\, \dot{E}_2 = \dot{Z}\,\dot{I}_2,\,\dot{E}_3 = \dot{Z}\,\dot{I}_3 \).
Le tensioni di linea sono imposte dal generatore e se la linea è ideale (impedenza di linea nulla) coincidono esattamente con quelle presenti ai morsetti del generatore. In tal caso anche le tensioni di fase del carico coincidono con quelle del generatore.
In caso di carico squilibrato le tensioni di linea non variano, mentre le tensioni di fase si modificheranno in modo che, pur soddisfacendo la relazione precedente, le loro differenze diano ancora le tensioni concatenate (imposte).

Se si collegano i due centri-stella con il conduttore neutro si viene ad avere un sistema a quattro fili.
Se il sistema è equilibrato il neutro non è percorso da corrente dato che la somma delle correnti afferenti il nodo del centro-stella è somma di tre vettori uguali e egualmente sfasati, che abbiamo già visto essere nulla.
In caso di sistemi squilibrati invece vi sarà in genere corrente che percorre il conduttore neutro.
La presenza del neutro fa sì che siano imposte non solo le tensioni concatenate, ma anche quelle di fase.

1.8 - Il collegamento a triangolo: altri dettagli

Il collegamento a triangolo è forse meno intuitivo del collegamento a stella, ma altrettanto importante. Ora il generatore è collegato a triangolo e il carico a stella, ma è possibile anche avere un carico collegato a triangolo.
In ogni caso anche qui riassumiamo le caratteristiche finora viste di questo collegamento:

Fig. 7 - Tensioni e correnti su carico a triangolo

Vi è un solo sistema di tensioni: le tensioni di fase \(\small \dot{U}_1,\, \dot{U}_2\,,\dot{U}_3\) che però assumono anche il ruolo di tensioni di linea: \(\small \dot{U}_{12},\, \dot{U}_{23}\,,\dot{U}_{31}\) (o \(\small \dot{V}_{12},\, \dot{V}_{23}\,,\dot{V}_{31}\)).
Esse si misurano tra fase e fase della linea (o tra i morsetti d'uscita del generatore). Anche in questo caso le tensioni sono simmetriche
Vi sono invece due sistemi di correnti: di fase \(\small \dot{I}_1,\, \dot{I}_2\,,\dot{I}_3\) e di linea \(\small \dot{I}_{L1},\, \dot{I}_{L2}\,,\dot{I}_{L3}\)
La relazione tra correnti di linea e di fase si trova notando che le tensioni di linea si ottengono per differenza tra correnti di fase. Il ragionamento si può condurre sia sul triangolo generatore sia sul carico (i versi delle correnti sono opposti nei due casi). Prendiamo come riferimento la figura 7. Per ognuno dei nodi A, B e C possiamo scrivere un'equazione derivata dal primo principio di Kirchhoff:

Nodo A: \(\qquad \qquad \dot{I}_{L1} = \dot{I}_1-\dot{I}_3 \)
Nodo B: \(\qquad \qquad \dot{I}_{L2}= \dot{I}_2-\dot{I}_1 \)
Nodo C: \(\qquad \qquad \dot{I}_{L3}= \dot{I}_3-\dot{I}_2 \)

Essendo le correnti di fase uguali in modulo e sfasate di 120° (così come quelle di linea) abbiamo una situazione analoga a quella già vista per le tensioni di fase e concatenate nella stella.
Quindi troiveremo che il modulo delle correnti di linea è \(\small \sqrt(3)\) volte il modulo di quelle di fase, mentre la terna delle correnti di linea è in ritardo di 30° sulla terna delle correnti di fase.
quindi:
\[ \dot{I}_{L\,k} = \sqrt{3}\,\dot{I}_k \, \rho \angle -30° \qquad k = \{1,2,3\}\]

1.9 - La potenza nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati

Fig. 8 - Grandezze di fase e di linea nella stella

Come sappiamo la potenza è una grandezza di tipo additivo. Ciò significa che in un sistema trifase la potenza totale erogata o assorbita è data dalla somma delle potenze generate o assorbite dalla singole fasi.
La figura 8 mette in evidenza le grandezze in gioco nel collegamento a stella del carico. Le grandezze di fase sono quelle che interessano le singole fasi, ad esempio la corrente di fase è quella che effettivamente percorre l'impedenza di ogni fase, le tensioni di fase sono quelle che si misurano ai capi delle stesse impedenze, ecc. Le grandezze di linea invece sono quelle presenti sulla linea o, nel caso delle tensioni, misurate tra due conduttori di linea. Considerando le grandezze di fase possiamo trattare il sistema trifase come 'somma' di tre sistemi monofase. Seguendo questa linea di ragionamento vediamo che ogni fasi assorbe la potenza attiva:
\[ P_1 = E_1\,I_1\,cos\,\varphi_1 \qquad P_2 = E_2\,I_2\,cos\,\varphi_2 \qquad P_3 = E_3\,I_3\,cos\,\varphi_3 \] e reattiva:
\[ Q_1 = E_1\,I_1\,sin\,\varphi_1 \qquad Q_2 = E_2\,I_2\,sin\,\varphi_2 \qquad Q_3 = E_3\,I_3\,sin\,\varphi_3 \] Poiché il sistema è simmetrico ed equilibrato possiamo sostituire le grandezze con i loro valori comuni \(\small E_i = E \quad I_i = I\; (I\, di\, fase)\quad \varphi_i = \varphi \quad (i= 1,2,3) \quad\) e calcolare la potenza attiva totale come somma delle tre potenze, per cui la potenza totale attiva e reattiva saranno date da: \[ P = 3\,E\,I\,cos\,\varphi \qquad \qquad Q = 3\,E\,I\,sin\,\varphi\] Tuttavia poiché \(\small V = \sqrt{3}\,E\) si ha anche: \[ P = \sqrt{3}\,V\,I\,cos\,\varphi \qquad \qquad Q = \sqrt{3}\,V\,I\,sin\,\varphi\]

Fig. 9 - Grandezze di fase e di linea nel triangolo

Per quanto riguarda il triangolo anche qui la figura 9 ci mostra le grandezze di fase, di linea e le loro relazioni. Seguendo il criterio prima enunciato le tensioni \(\small V_{ij} \quad( i,j=1,2,3)\) sono di linea ed anche di fase. L'angolo \(\small \varphi \), che è sempre una grandezza di fase, è misurato tra tensione di fase e di linea, come da figura. In questo caso abbiamo per le potenze:
\[ P_1 = V_{12}\,I_1\,cos\,\varphi_1\] \[P_2 = V_{23}\,I_2\,cos\,\varphi_2 \] \[P_3 = V_{31}\,I_3\,cos\,\varphi_3 \] \[ Q_1 = V_{12}\,I_1\,sin\,\varphi_1 \qquad Q_2 = V_{23}\,I_2\,sin\,\varphi_2 \qquad Q_3 = V_{31}\,I_3\,sin\,\varphi_3 \] Anche qui attribuiamo alle grandezze i loro valori comuni, notando che \(\small I_f\) è il modulo delle correnti di fase \(\small I_{i} \quad (i=1,2,3)\), mentre \(\small I\) è il modulo delle correnti di linea. Otteniamo:
\[ P = 3\,V\,I_f\,cos\,\varphi \qquad \qquad Q = 3\,V\,I_f\,sin\,\varphi\] Poiché \(\small I_f = \dfrac{I}{\sqrt{3}}\) si ha anche:
\[ P = \sqrt{3}\,V\,I\,cos\,\varphi \qquad \qquad Q = \sqrt{3}\,V\,I\,sin\,\varphi\] Risulta quindi evidente che è possibile usare la stessa relazione per il calcolo delle potenze sia nel caso del triangolo che della stella, facendo però attenzione a quali grandezze vi si inseriscono: tensioni e correnti nei due casi sono di linea, l'angolo è di fase.

Rev. 08/02/2021

Testi dell'autore e approfondimenti

Correnti Alternate

Sistemi Trifase

Esercizi di Macchine Elettriche Libreriauniversitaria.it

⁽¹⁾ In realtà campi elettrici e quindi differenze di potenziale possono essere create da variazioni nel tempo di campi magnetici, indipendentemente dalla presenza o meno di conduttori e/o circuiti elettrici.

⁽²⁾ La distanza angolare tra due fasi è detta angolo meccanico. Tale angolo è di 120° se la macchina è bipolare (2 poli, una coppia polare), cioè il campo magnetico induttore B è formato da una sola coppia di poli (Nord, Sud). Nel nostro schema didattico si ha una situazione di questo tipo. L'angolo meccanico quindi può variare a seconda del numero di poli dell'alternatore (ad esempio per una macchina a 4 poli, cioè due coppie Nord-Sud l'angolo meccanico è di 60°. L'angolo elettrico invece è sempre di 120° ed è l'angolo tra i fasori delle rispettive tensioni.

⁽³⁾ Un carico trifase, sottoposto ad un sistema simmetrico di tensioni trifase, si dice equilibrato se le correnti che lo percorrono sono uguali in modulo e ugualmente sfasate (120°). Questa condizione può essere realizzata ad esempio se le tre impedenze del carico sono identiche.

⁽⁴⁾ Naturalmente stiamo parlando di differenza vettoriale (o geometrica), in quanto le tensioni sono fasori ( e quindi vettori), con modulo e fase. La semplice differenza scalare dei moduli non darebbe risultati corretti.

⁽⁵⁾ Consulta eventualmente: Correnti Alternate 2. RLC serie
e per la potenza: Potenza in corrente alternata sinusoidale