Campo Magnetico Rotante Trifase    

  Campi magnetici rotanti

Discipline: ELETTROTECNICA




1 - La scoperta del campo magnetico rotante

Nell'autunno del 1885 Galileo Ferraris, fisico e ingegnere piemontese (1847-1897), tra i fondatori e primo presidente  dell'Associazione Elettrotecnica Italiana, dimostrò pubblicamente che, disponendo due bobine perpendicolarmente tra loro e facendole percorrere da due correnti fortemente sfasate (quasi in quadratura), si generava, nello spazio compreso tra esse, un campo magnetico rotante, che poteva essere rivelato ad esempio con il dispositivo di Figura 1. Quando le bobine sono percorse da correnti  in quadratura di fase (sfasate cioè di un quarto di periodo) si osserva che il cilindretto di rame sospeso tra O e O' tende a ruotare torcendo il filo di sospensione. Se il sistema di sospensione è realizzato con perni e cuscinetti si osserverà la rotazione continua del cilindretto. Ferraris sperimentava con correnti alternate a circa 40 Hz ("Le inversioni della corrente erano circa 80 per minuto secondo;") cui doveva corrispondere un campo rotante a 2400 giri al minuto. Nelle sue esperienze lo scienziato ottenne velocità fino a circa 900 giri al minuto oltre le quali, a causa della primitività del sistema, non era possibile andare. Lo sfasamento delle correnti era ottenuto inserendo una resistenza da 15 a 18 Ω sulla bobina 2BBB2' compensando la riduzione della corrente con un maggior numero di spire.  
Nello stesso periodo Nicola Tesla (1856-1943), fisico e ingegnere serbo-statunitense, otteneva analoghi risultati. Gli studi di Galileo Ferraris, contenenti anche la descrizione di un piccolo motore asincrono furono pubblicati nell'aprile del 1888 sulla rivista  "Il Nuovo Cimento" (preleva il documento).
Il 1° maggio dello stesso anno  Tesla otteneva il  brevetto del motore asincrono.   
A seguito dell'introduzione del sistema trifase di distribuzione dell'energia elettrica e grazie appunto alla scoperta del campo magnetico rotante, si diffuse rapidamente l'uso del motore asincrono o motore a induzione. Tuttora si tratta della macchina elettrica rotante maggiormente diffusa nel mondo.
Il campo magnetico rotante è anche alla base del funzionamento della macchina sincrona, la quale oggi è prevalentemente usata come generatore (alternatore).


2 - Il campo magnetico rotante trifase

Nella lavagna a sinistra è riprodotto lo statore ⁽¹⁾ di una ipotetica macchina elettrica rotante in corrente alternata trifase. La parte in grigio costituisce il circuito magnetico di statore che ha lo scopo, assieme al circuito magnetico di rotore, di amplificare e incanalare i flussi magnetici necessari per il funzionamento della macchina. I corpi emergenti dalla superficie interna dello statore sono i cosiddetti poli, le cui parti terminali sagomate sono chiamate espansioni polari. Essi costituiscono il nucleo magnetico degli avvolgimenti (bobine) costituiti da un certo numero di spire di conduttore di rame. Questi avvolgimenti, opportunamente collegati tra loro, costituiscono le  tre  fasi del sistema. Una macchina di questo tipo sarebbe classificata come macchina a 'poli salienti' o anisotropa. Anche se  nella pratica costruttiva si adottano altre soluzioni  (4) la rappresentazione a poli salienti è efficace dal punto di vista didattico.


2.1 - Convenzione sul verso delle correnti

Nello schema, P₁  rappresenta l'inizio della fase 1  e F₁  la sua fine. Seguiamo il conduttore  rosso: entriamo in P₁ avvolgiamo N spire - 3 nell'esempio - attorno al polo, usciamo seguendo sempre il conduttore rosso fino al polo opposto al primo, attorno al quale  avvolgiamo nello stesso verso ancora N spire e poi usciamo da F1.  Ogni fase impegna quindi due poli diametralmente opposti.  Stesso procedimento seguiamo per le altre due  fasi in colore verde e azzurro. Supponiamo di alimentare, per ora,  solamente  la fase 1 con la  corrente I₁ e consideriamo un  istante in cui essa assuma il suo valore massimo istantaneo positivo. Definiamo 'positiva' la corrente se è rappresentata da un vettore giacente nel primo o secondo quadrante, che presenta quindi parte immaginaria positiva⁽²⁾.
Osserviamo che il polo in alto diviene un polo Sud magnetico, quello inferiore un polo Nord.
Le frecce   indicano il verso della corrente negli avvolgimenti in coerenza con la cosiddetta regola di Maxwell (o della vite destrorsa), rappresentata nella figura 4.
Convenzionalmente consideriamo positiva una corrente che entri dal principio di un avvolgimento e esca dalla fine.  La corrente I₁ , nell'istante rappresentato, è allora positiva.  Quando  I₁ assume il valore massimo in senso opposto sarà considerata negativa. In tal caso la vedremo entrare dalla fine ed uscire dal principio dell'avvolgimento. Le polarità magnetiche ovviamente si invertono nel tempo con una frequenza pari a quella delle correnti che generano il campo magetico. Notiamo che  fintantochè il vettore I₁ si mantiene nel I e II  quadrante il verso della corrente e le polarità magnetiche  della fase non cambiano, varierà però l'intensità del campo magnetico B₁ prodotto dalla corrente I₁ e rappresentato da un vettore diretto secondo l'asse polare della fase 1.
Analoghi discorsi si possono fare per le altre due fasi percorse dalle correnti  I₂ e I₃.
La distanza tra un polo magnetico e quello immediatamente successivo  di una stessa fase misurata sulla circonferenza interna dello statore è detta passo polare τ (tau). Se r è il raggio interno dello statore, nel caso rappresentato τ = r π.  A volte ci si riferisce ad esso come angolo al centro tra i due poli consecutivi (qui π radianti ) che equivale a porre r = 1. 


2.2 - Il campo rotante

In ogni caso è importante notare che  le correnti danno luogo a tre campi magnetici alternativi, la cui intensità varia sinusoidalmente nel tempo secondo l'andamento delle correnti che li generano.
La somma ⁽³⁾ istante per istante dei tre vettori dà luogo ad un vettore risultante che ruota con velocità angolare costante  mantenendo costante anche l'ampiezza.
Si può notare agevolmente che il campo risultante, nell'istante i cui si ha la corrente massima in una delle fasi è diretto secondo l'asse polare di quella fase. Questo fa sì che il flusso prodotto dal campo risultante possa a sua volta essere rappresentato da un vettore rotante nei diagrammi vettoriali,  riferiti ad una sola fase della macchina elettrica.
Altrettanto agevole è determinare l'ampiezza del campo risultante. Se ci poniamo ancora nella situazione in cui  I₁ presenta il valore massimo istantaneo positivo,  abbiamo B₁ che assume il suo valore massimo, diciamo B_M, mentre B₂ e B₃ hanno valore B_M/2 essendo creati da correnti che hanno  valore istantaneo pari a metà del valore massimo. Notiamo anche che  B₂ e B₃ formano angoli di 60° con   B₁. Data la simmetria dei due campi rispetto a B₁ è evidente che il campo risultante sarà diretto proprio lungo  B₁ stesso. Basta allora sommare a B₁ le componenti di B₂ e B₃ lungo  B₁ stesso: sostituendo a B₁, B₂ e B₃ i valori istantanei B_M, B_M/2 e B_M/2:
Si può dimostrare che in qualsiasi altra situazione il campo risultante mantiene, in modulo, sempre lo stesso valore pari a 1,5 volte il valore massimo del campo prodotto da una fase.
La velocità di rotazione del campo dipende dalla frequenza f  del sistema di correnti trifase.
Indicando con n₁ la frequenza di rotazione del campo, espressa in giri al minuto, dal fatto che  n/60 = f  possiamo trovare la relazione: n₁ =  60 f, impropriamente detta 'velocità' del campo.
Se le  correnti di fase sono uguali, cioè se il sistema è equilibrato, il campo ha modulo costante nel tempo. Parleremo  in questo caso di campo circolare. Uno squilibrio delle correnti provoca la variazione continua del modulo di B: il moto del campo appare allora irregolare e viene detto campo ellittico, perchè la punta del vettore risultante B descrive un'ellisse.


2.3 - Inversione del senso di rotazione

Se 'invertiamo due fasi' , il che significa ad esempio mandare nella fase 2 la corrente  I₃ e nella fase 3 la corrente I₂ , si inverte il senso di rotazione del campo. Nell'esempio si simula proprio l'inversione di I₂ e I₃. Per ottenere l'inversione del campo qualsiasi coppia di fasi può essere  invertita.


3 - Coppie polari e velocità del campo magnetico rotante

Abbiamo già rilevato che la velocità del campo rotante è determinata  dalla frequenza delle correnti statoriche ed è ad essa direttamente proporzionale, nel senso che, ad esempio raddoppiando la frequenza, raddoppierà la velocità di rotazione. Ma vi è un altro fattore che influisce sulla velocità: si tratta del numero di coppie polari che caratterizzano il campo magnetico rotante.


3.1 - Coppie polari del campo magnetico

Per comprendere il concetto di polarità del campo consideriamo quanto segue.
Il campo risultante generato da un sistema come quello rappresentato nella lavagna a sinistra può essere immaginato come generato da due poli magnetici rotanti che si formano nello statore. Le linee di campo escono dal polo Nord e entrano nel polo Sud. Un simile campo magnetico  è detto bipolare. Si può confermare questo fatto osservando le configurazioni istantanee delle polarità magnetiche dei poli: lo statore appare sempre suddiviso in due zone ognuna delle quali comprende solamente poli Sud o poli Nord.
La frequenza di rotazione di un campo bipolare è uguale alla frequenza delle correnti che lo generano: se la frequenza delle correnti è di 50 Hz la 'velocità' del campo sarà di 50 giri al secondo o 3000 giri al minuto, come si ricava anche dalle formule precedenti.

Ora supponiamo che il sistema sia realizzato come nella rappresentazione qui a sinistra. Ogni fase comprende quattro poli. Essi devono essere avvolti in modo tale che le correnti creino poli magnetici che si alternano secondo la sequenza Nord-Sud-Nord-Sud. Nel caso della fase 1, dal polo in alto vicino al princicio P₁, si passa a quello che si trova a 90° in senso orario, poi ai successivi a 180° e 270°. Facendo attenzione al verso con cui si avvolgono le spire attorno ai poli, si ottiene che la corrente I₁ della fase 1 crea quattro poli magnetici alternati N-S-N-S disposti come nell'immagine. Analogamente per la fase 2 e la fase 3.
L'effetto complessivo delle tre correnti è allora quello di suddividere, dal punto di vista magnetico, lo statore in quattro zone, ciascuna delle quali rappresenta alternativamente un polo Nord e un polo Sud. Esistono quindi due coppie di poli Nord-Sud e il campo si dice a 4 poli o tetrapolare. Anche in questo caso possiamo pensare al campo rotante come ad un insieme di 4  poli magnetici rotanti che si creano nello statore. Le linee del campo risultante escono dai poli Nord di statore ed entrano nei poli Sud.
Come fatto notevole si osservi che questo campo possiede una velocità dimezzata rispetto al caso precedente. Se la frequenza delle correnti è di 50 Hz il campo compie 25 giri al secondo, 1500 giri al minuto.


3.2 - Velocità del campo

Quanto detto sopra è un dato generale: la velocità del campo rotante è inversamente proporzionale al numero di coppie polari. Definiamo quindi la grandezza p = numero di coppie polari. Parleremo allora di campo, di avvolgimento o di macchina con p coppie polari. Per una macchina bipolare avremo p = 1, per una macchina tetrapolare p = 2, ecc. Ovviamente 2p assume il significato di numero di poli, così se p = 2 il campo ha 2p = 4 poli, se p = 3 il campo ha 2p = 6  poli, ecc.
Possiamo allora scrivere una legge più generale per la velocità del campo rotante:
da cui si può ricavare la velocità in giri al minuto:
Ricordiamo ancora che la velocità è, correttamente, una frequenza di rotazione, che andrebbe misurata in Hz (hertz) ovvero s^-1. L'unità minuti^-1 (o giri/minuto), molto utilizzata nella pratica, non fa parte del sistema internazionale di unità di misura. 
Nel caso di una macchina a quattro poli, il passo polare τ  è dato da \( \tau= \frac{r \pi}{2}=\frac{r \pi}{p} \).


4 - Campo magnetico nel traferro di macchine isotrope

Una soluzione costruttiva frequentemente utilizzata per le macchine elettriche basate sul principio del campo rotante trifase (motori asincroni, motori e generatori sincroni), comporta la loro realizzazione nella configurazione cosiddetta a 'poli lisci'. Una macchina a poli lisci, detta anche isotropa, è caratterizzata dalla presenza di un traferro costante⁽⁴⁾.
Per contro, le macchine a poli salienti o anisotrope sono caratterizzate dalla non costanza del traferro, il che si riflette sulla non omogeneità delle riluttanze del circuito magnetico.
In una macchina isotropa i conduttori che realizzano gli avvolgimenti sono inseriti all'interno di canali o cave, ricavati nel circuito magnetico dello statore e del rotore. Le cave sono uniformemente distribuite lungo le superfici cilindriche dello statore e del rotore (figura 5, dove però non sono rappresentate le cave del rotore).
Nonostante la costanza del traferro, la riluttanza dei circuiti non è rigorosamente costante poichè le linee di campo tendono a concentrarsi nella zona dei denti  di statore e di rotore, ma conformando opportunamente le cave e i denti ci si può avvicinare alla condizione ideale.
La figura 5 rappresenta lo statore di una macchina isotropa bipolare.
L'avvolgimento di ogni fase occupa 10 cave, quindi abbiamo q = 5 cave per ogni polo e per ogni fase. Abbiamo qui introdotto il parametro q, numero di conduttori per polo e per fase. I colori evidenziano la disposizione dei conduttori rispetto alle fasi di appartenenza.


4.1 - Campo nel traferro di una macchina isotropa

Per determinare il campo magnetico nel traferro di una macchina isotropa faremo ricorso alla legge della circuitazione magnetica di Ampère e ad alcune ipotesi semplificative che consentono di agevolare il calcolo, senza tuttavia togliere validità e generalità ai risultati.


4.2 - Le ipotesi semplificative

Per studiare il campo magnetico nel traferro è opportuno avvalersi di alcune ipotesi che consentono di semplificare l'analisi:

1. La riluttanza magnetica dei percorsi nel materiale con cui sono realizzati statore e rotore è nulla: ℜ_m = 0 oppure, equivalentemente, la loro permeabilità magnetica è infinita μ = ∞
2. Il campo ha la stessa configurazione in tutti i piani perpendicolari all'asse di macchina
3. Le linee di campo escono ed entrano perpendicolarmente rispetto al mezzo di permeabilità infinita e possono essere considerate radiali nel traferro

4.3 - Permeabilità e campo H

Come è noto vale la relazione B  = μ H in cui B è l'induzione magnetica (ma è in realtà il vero campo magnetico), μ è la permeabilità magnetica che dipende dal mezzo in cui si sviluppa il campo,  H è  storicamente il vettore 'campo magnetico' .
Per un solenoide si ha: dove N è il numero di spire, I l'intensità di corrente che le percorre, l la lunghezza del solenoide. NI è spesso indicata con il termine forza magneto-motrice (fmm).
L'aspetto interessante del vettore H è che esso non dipende dal mezzo in cui si sviluppa il campo magnetico, ma solo dalla configurazione delle correnti che ne sono l'origine. Per tale motivo alcuni calcoli vengono semplificati usando H al posto di B.
Nel vuoto o nell'aria in cui μ = μ₀  (12.5664 10^-7 N A^-2  o H m^-1), si ha B =  μ₀ H e quindi vi è proporzionalità tra i due vettori, essendo μ₀ uno scalare. È ciò che accade, per esempio, nel traferro di una macchina elettrica.
Nei mezzi materiali  ferromagnetici la permeabilità non è più una semplice costante numerica, ma dipende dall'intensità dello stesso campo magnetico e in materiali non isotropi assume addirittura lo status di tensore (generalizzazione del concetto di vettore).
Può risultare sconcertante l'affermazione, basata sulla precedente ipotesi 1 che:
la permeabilità infinita del mezzo ferromagnetico (statore e rotore ) comporta che B abbia un valore diverso da zero, mentre H è nullo.
Possiamo giustificare intuitivamente l'affermazione nel modo seguente.
Nell'ipotesi che, in B = μ H, il campo di induzione B debba mantenere un certo valore, se μ assume valori grandi, H deve corrispondentemente diminuire.
Portiamo un esempio numerico a sostegno di quanto sopra.
Supponiamo si debba avere una intensità di induzione magnetica B = 0.8 T sia nel traferro che nel nucleo magnetico realizzato con lamierini al silicio. La permeabilità di tale materiale all'induzione di 0.8 T è pari a μ = μ_r⋅μ₀ = 2550⋅μ₀ , che equivale a dire  che l'effetto del lamierino è di amplificare il campo di 2550 volte rispetto all'aria o al vuoto.
Con un semplice calcolo: 
nel traferro:      H  = B/μ₀  = 0.8 / 12.5664 10^-7 = 636618  A/m
nel ferro:          H  = B/μ    = 0.8 /3.2 10^-3 =250 A/m
Come si vede la disparità tra i due valori è notevole: se si dispone di un avvolgimento di 100 spire, nel ferro sarebbe sufficiente, a parità di altre condizioni e supponendo l = 1, una corrente di 2.5 A per ottenere un campo di 0.8 T. Nell'aria, con 100 spire, dovremmo utilizzare una corrente di  oltre 6000 A.
Spingendo il ragionamento al limite, volendo ridurre a zero il valore di H, μ dovrà assumere un valore infinitamente grande.


4.4 - La circuitazione

Nella parte in basso a destra della lavagna vediamo una porzione di statore e rotore linearizzati. La corrente nel conduttore 1 è uscente (verso l'osservatore), la corrente nel conduttore 2 è entrante.  Con δ (delta) indichiamo lo spessore del traferro.
Per calcolare la circuitazione individuiamo  un percorso chiuso in un campo magnetico, ad esempio una linea chiusa orientata che circondi il conduttore 1.
La circuitazione si può calcolare suddividendo in piccoli tratti \(\Delta l \) il percorso, calcolando per ognuno di essi il prodotto scalare \(H \cdot \Delta l\) e sommando fino a coprire tutta la linea chiusa: dove usiamo la notazione \( \oint_ l (H)\) per indicare la circuitazione di \(H\) lungo la linea chiusa \(l\). Se la linea chiusa circonda un conduttore percorso da corrente \(I\) avremo: Nel caso generale in cui più correnti attraversino la superficie che ha come perimetro la linea di circuitazione: dove \( \sum_k I_k \) è la somma algebrica (con segno) delle correnti.
Se invece la linea non circonda alcuna corrente: Nel nostro caso, avendo posto \(H= 0\) nello statore e nel rotore, alla circuitazione danno contributo solo i tratti di attraversamento del traferro di lunghezza \(\delta \). Tale lunghezza è di solito sufficientemente piccola da poter considerare costante il campo su tutto il tratto \(\delta \). Il campo nei punti A e B dovuto al conduttore 1, in base al verso della corrente, ha l'andamento rappresentato: \(H_A \) verso il basso, \(H_B \) verso l'alto; tuttavia per un calcolo corretto della circuitazione conviene stabilire un verso positivo  del campo⁽⁵⁾ nel traferro. Consideriamo per esempio positivo un campo diretto dallo statore al rotore. Il contributo alla circuitazione sarà a sua volta positivo se l'orientamento della linea è concorde con il verso positivo di H, negativo in caso contrario ⁽⁶⁾.  L'orientamento della linea è anch'esso arbitrario. In questo caso abbiamo scelto un verso antiorario (concorde con l'orientamento delle linee del campo magnetico creato dal conduttore 1).
Allora con le ipotesi poste: Il segno meno davanti ad \(H_B \) è dovuto quindi alla scelta del verso positivo di H precedentemente effettuata.
Consideriamo ora un secondo percorso di circuitazione tale che la linea sia compresa tra i due conduttori. Scriviamo la circuitazione: La circuitazione è nulla perchè nessuna corrente è circondata dalla linea chiusa.
Quest'ultima relazione ci dice che \(H_D = H_E \) e poichè l'unico vincolo che abbiamo posto è che la linea sia compresa all'interno dei conduttori 1 e 2, possiamo affermare che \(H_D = H_E = H_B\) e quindi concludere che tra i conduttori 1 e 2 il campo deve essere costante e uguale per esempio ad \(H_B \).
Consideriamo infine una terza linea chiusa che comprenda entrambe i conduttori.  Poichè, dal nostro punto di vista i due conduttori sono i lati attivi di una spira (o di un avvolgimento) le due correnti sono uguali ed opposte. Allora: Questa relazione ci dice che \(H_A = H_C \) e che quindi anche il campo all'esterno dei due conduttori è costante.
Abbiamo quindi già una serie di importanti informazioni sull'andamento del campo nel traferro: nelle ipotesi poste il campo avrà un andamento rettangolare come quello evidenziato nella parte alta della lavagna.
Resta il fatto che abbiamo due incognite \(H_A\) e \(H_B\), ma, per il momento, una sola equazione che le mette in relazione: Ci viene però in aiuto un'importante proprietà del campo magnetico: la sua solenoidalità.


4.5 - La solenoidalità del campo magnetico

Una caratteristica importante del campo magnetico è la cosiddetta solenoidalità.
La solenoidalità  deriva dal fatto che le sorgenti del campo magnetico non sono costituite da 'cariche magnetiche', ma da correnti elettriche. Ciò comporta che il flusso di un campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa debba essere nullo. In altre parole il flusso che entra attraverso una superficie chiusa deve essere uguale a quello che ne esce. Se così non fosse esisterebbe almeno una superficie rispetto alla quale si avrebbe un flusso solamente uscente o solamente entrante, ma questo implicherebbe l'esistenza di una carica  magnetica isolata all'interno della superficie chiusa.
La superficie chiusa che noi consideriamo è  costituita dalla superficie interna dello statore, con le due basi circolari di raggio r. In verità, date le ipotesi fatte, non si può avere flusso uscente attraverso le basi e quindi è sufficiente considerare la superficie laterale del cilindro. I conduttori 1 e 2  dividono la superficie laterale  in due parti: \(S_1\) e \(S_2\). Se \(l\) è l'altezza del cilindro, basandoci sulla figura 6, avremo: \(S_1= r\;\alpha\;l\) e \(S_2= r\;(2\pi-\alpha)\;l\).
Per la sinusoidalità: \(B_1\;S_1+B_2\;S_2=0\), dove \(\Phi_1=B_1\;S_1\) e \(\Phi_2=B_2\;S_2\) sono i flussi uscenti ⁽⁷⁾ dalle rispettive superfici. Avremo allora:
Risolvendo il sistema:
ricaviamo i valori per H_A e H_B: Come si vede, questi valori , oltre che dalla corrente e dallo spessore del traferro, dipendono dall'angolo α sotto il quale la spira è vista dal centro. Per noi è interessante il caso in cui i conduttori dividono la superficie di statore in parti uguali. Per esempio ponendo α = π  si ottiene subito che: e, come si vede, questo comporta l'uguaglianza dei due campi a meno del verso.
Altrettanto interessante è il caso di 4 conduttori disposti simmetricamente e percorsi da correnti uguali, alternativamente entranti e uscenti, caso che si presenta nello studio di una macchina tetrapolare. Qui possiamo applicare tutti i ragionamenti precedenti immaginando che il sistema sia composto da due spire ognuna con due lati attivi.
La seconda spira genera un campo simile al primo che sovrapposto al precedente dà un campo risultante rettangolare e simmetrico.



4.6 - Campo di un avvolgimento distribuito
Studiamo ora il caso di un avvolgimento ripartito su più cave. Nell'esempio immaginiamo che i conduttori di una stessa fase siano distribuiti su 3 cave a distanza angolare θ una dall'altra.  Nell'ipotesi che  α = π avremo dei campi rettangolari come già visto. Anche qui calcoliamo il campo per ogni coppia di conduttori corrispondenti (ogni spira): la coppia 1-1' produce il campo rettangolare H₁ evidenziato, simile al campo H₂ della coppia 2-2' e a  H₃  della coppia 3-3', che tuttavia appaiono sfasati di una  distanza  r⋅θ uno rispetto all'altro (nel grafico si è posto il raggio r =1) . La sovrapposizione dei tre campi dà un campo risultante a gradini.

Questi campi rettangolari possono essere ottenuti come sovrapposizione di sinusoidi, cioè possono essere sviluppati in serie di Fourier. Il campo H₁, per esempio può essere scritto come:
dove si sono scritti i primi tre termini dello sviluppo in serie di Fourier. La fase β tiene conto dello spostamento  rispetto all'origine degli assi.
In prima approssimazione  ognuno dei campi rettangolari può essere rappresentato dalla sinusoide fondamentale o prima armonica, per H₁ :
il che consente una notevole semplificazione dei calcoli. Il prezzo da pagare tuttavia è di trascurare il contenuto in armoniche di queste forme d'onda, il che è maggiormente importante quando si tratta di generatori sincroni, ove la sinusoidalità delle tensioni generate deve essere garantita con elevata precisione.
La presenza di armoniche nel campo rotante dei motori è principalmente legata a un aumento delle perdite e  alla formazione di coppie parassite, che possono provocare irregolarità nel funzionamento in certe situazioni.
Il campo risultante è dato dalla sovrapposizione delle tre onde rettangolari H₁,  H₂,  H₃ e può a sua volta essere sviluppato in serie di Fourier. La prima armonica  di H si ottiene allora come sovrapposizione delle tre fondamentali di  H₁,  H₂ e H₃ oppure può essere determinata direttamente secondo l'espressione:
dove compare q, numero di cave per polo e per fase (3 nell'esempio) e k_a, noto come fattore di avvolgimento, coefficiente correttivo (mai maggiore di 1) che tiene conto della  differenza di fase tra le sinusoidi (e i fasori rappresentativi) dovuta allo spostamento angolare θ tra cava e cava. k_a è sostanzialmente il rapporto tra la somma vettoriale  dei campi e la somma algebrica dei loro moduli \(k_a=\frac{\sum \vec H_i}{\sum H_i}\) e può essere calcolato rapidamente con la formula che compare nella lavagna.


5 - Campo magnetico rotante in una macchina isotropa

Dopo aver visto come determinare il campo magnetico per un avvolgimento distribuito ci resta da  studiare il campo rotante generato da uno statore con un avvolgimento trifase distribuito. Abbiamo rappresentato nella lavagna una sezione dello statore di una macchina isotropa a 4 poli (p = 2). L'avvolgimento è realizzato con 3 cave per polo/fase. Come al solito le fasi sono evidenziate con colori diversi. Con le stesse convenzioni precedentemente adottate sui versi delle correnti, possiamo evidenziare la sequenza dei versi istantanei delle correnti nei conduttori di fase. Esse danno origine a 4 poli magnetici di statore rotanti con velocità:
che a loro volta generano un campo magnetico rotante come evidenziato in lavagna.


5.1 - Andamento del campo rotante nel traferro 

Cerchiamo ora di visualizzare l'andamento del campo rotante nel traferro. A tale scopo abbiamo rappresentato lo statore in forma schematica e linearizzata con i conduttori, mettendo anche in evidenza gli inizi di ogni fase.(P₁, P₂, P₃).
Alimentiamo inizialmente il sistema solamente con la  corrente I₁. Notiamo subito che si forma il campo a gradini che avevamo già studiato in 4.6. Si tratta di un campo  alternativo, poichè la corrente che lo genera varia nel tempo sinusoidalmente, ma fisso nello spazio. Analoghe considerazioni valgono per i campi generati dalla corrente I₂ e dalla  corrente I₃.
Il campo magnetico creato da una fase ha allora un periodo temporale \(T = \frac 1 f\) e un periodo spaziale \(T_S=\frac{2\;\pi\;r}{p}\), dove r è il raggio della circonferenza interna di statore, mentre f è la frequenza delle correnti statoriche e p è il numero di coppie polari.
Nell'esempio ( r =1 , p = 2)  osserviamo due oscillazioni complete per cui il periodo spaziale sarà T_S =  π.
La sovrapposizione istante per istante di questi tre campi lungo tutto il traferro genera un campo risultante che migra (lungo la circonferenza del traferro) con velocità costante verso destra. Si vede subito che il campo, nel suo spostamento, non mantiene rigorosamente invariata la forma. È certamente riconoscibile una forma periodica di base  i cui dettagli però (il valore massimo, la disposizione relativa dei gradini) variano continuamente. Tale osservazione è importante  per alcune considerazioni che seguiranno.
Questo campo è anch'esso funzione periodica del tempo con \(T = \frac 1 f\) e dello spazio con periodo \(T_S=\frac{2\;\pi}{p}\) (r=1). Il periodo coincide con il doppio del passo polare τ.
Il numero di oscillazioni spaziali contenuto nello sviluppo angolare (2π) dello statore  dipende dal numero di coppie polari. Un campo a 4 poli deve presentare due oscillazioni spaziali complete N-S-N-S. Per tale motivo p, numero di coppie polari, rappresenta proprio la frequenza di 'oscillazione' spaziale del campo.
Analogamente, se la funzione trigonometrica cos(x) presenta una sola oscillazione nel suo periodo spaziale 2π, nello stesso periodo la funzione cos(p x) mostrerà p osclillazioni.
In  prima approssimazione possiamo descrivere il campo mediante una sinusoide cui daremo il nome di sinusoide fondamentale (o  semplicemente 'fondamentale').
La sinusoide fondamentale deve sovrapporsi il meglio possibile alla funzione a gradini. Deve quindi , istante per istante, 'seguire' il campo magnetico.
Quale sarà allora l'espressione analitica di questa sinusoide 'viaggiante'?

Attività 1: trova la sinusoide viaggiante

Il risultato dell'attività precedente dovrebbe essere una sinusoide la cui più evidente prerogativa è quella di spostarsi nel verso del campo magnetico alla sua stessa velocità, presentando un numero di oscillazioni spaziali corrispondente a quelle del campo. Se non fosse chiaro come ottenere questo risultato, si veda più avanti l'approfondimento degli aspetti matematici connessi alla descrizione del campo rotante nel traferro di una macchina isotropa.


6 - Campi controrotanti e teorema di Leblanc

Vediamo, qui a sinistra, un vettore B rappresentato in una data posizione dello spazio (un piano x-y). Fissata la direzione, questo vettore può essere costante in verso e modulo, nel qual caso un grafico (t, B) che descriva il comportamento del vettore  al trascorrere del tempo sarebbe semplicemente una retta parallela all'asse dei tempi. Viceversa il vettore può variare  dipendendo dal tempo secondo una certa legge f(t). Di particolare interesse per le applicazioni e per questo studio è il caso in cui la legge  f(t) sia di tipo sinusoidale. Ciò implica la variazione nel tempo di modulo e verso del vettore dando luogo a quel che si dice un vettore alternativo.  In funzione del tempo un vettore di questo tipo è espresso da:

(6.1) \[ B(t)=B_M cos(\omega t +\varphi)\]
che possiamo anche scrivere nella forma:

(6.2) \[ B(t)=\frac 12 B_M cos(\omega t +\varphi) + \frac 12 B_M cos(\omega t +\varphi)\]
Ricordando che cos(x) è una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, e quindi cos(x) = cos(−x), è possibile sostituire l'argomento di uno dei due addendi con il suo opposto:

(6.3) \[ B(t)=\frac 12 B_M cos(-\omega t -\varphi) + \frac 12 B_M cos(\omega t +\varphi)\]
Tutto ciò si ridurrebbe a una banale manipolazione algebrica se non fosse possibile una interessante interpretazione della formula  (6.3).
Prendendo come riferimento la direzione di B  e ponendo α = ω t + φ, la (6.3) può essere così riscritta:

(6.4) \[ B(t)=\frac 12 B_M cos(-\alpha) + \frac 12 B_M cos(\alpha)\]
Se α = 0 si ha banalmente B = ¹/₂ B_M + ¹/₂ B_M = B_M , se α = ^π/₂ otteniamo B =0.
La (6.4) ci invita allora a pensare il modulo di B come somma delle proiezioni di due vettori, B_d e B_s, sulla retta d'azione di B. I due vettori devono avere modulo pari a ¹/₂B_M  e in un dato istante formare angoli  −α e α con B.
Notiamo però che:

(6.5) \[-\alpha=-\omega t - \varphi =(-\omega) t -\varphi \qquad \qquad \alpha = \omega t +\varphi \]
Le (6.5) comportano che le proiezioni varino nel tempo come se fossero determinate dalla rotazione dei due vettori: l'uno con velocità angolare ω: B_s(ω) in senso anti-orario, l'altro con velocità angolare −ω:  B_d(−ω)  in senso orario.
Secondo questa interpretazione, che costituisce il teorema di Leblanc⁽⁸⁾, affermiamo che  B = B_d + B_s e cioè che B possa ottenersi come somma vettoriale di di due vettori rotanti: B_d, che chiameremo vettore o campo destrogiro o destrorso e  B_s, che chiameremo vettore o campo sinistrogiro o sinistrorso.  
All' istante iniziale i vettori B_d e B_s formano con B  angolì φ e − φ, come si ricava subito dalla (6.5) ponendo t=0. Essi costituiscono gli angoli di fase dei due vettori rotanti.
Ovviamente quanto detto vale per qualsiasi direzione di B come si può verificare facendo variare l'angolo θ che determina l'orientazione nel piano di B.


6.1 - Il campo rotante trifase come somma di vettori controrotanti

Ognuno dei campi magnetici alternativi prodotto dalle fasi  dello statore può essere scomposto in due campi  controrotanti  denominati per semplicità D_k e S_k  (k= 1,2,3). Così, ad esempio D₁ sarà il campo destrorso generato dalla fase 1 mentre S₁ sarà il corrispondente campo sinistrorso. La scomposizione del campo B₁ produce i due vettori D₁ (tratto continuo) e S₁ (tratteggiato). Osserviamo anche la scomposizione del   campo B₂ e del campo B₃. Evidenziamo ora solamente i sei campi controrotanti.
Qui notiamo che i campi D sono in fase (sono disegnati allineati invece che sovrapposti, per renderli tutti visibili), e la loro somma dà il campo risultante B che ha evidentemente modulo  1.5 B_M (v. 2.2) e ruota alla stessa velocità angolare dei campi D. La somma dei  campi S, che formano una stella simmetrica di vettori è, come noto, nulla⁽⁹⁾.


7 - Matematica dei campi rotanti

Gli aspetti matematici della descrizione dei campi rotanti sono particolarmente interessanti per le correlazioni con altre importanti branche della scienza, particolarmente lo studio delle onde e delle oscillazioni.
Per questo motivo, pur avendo nei paragrafi precedenti già affrontato alcune questioni  matematiche essenziali  relative ai campi rotanti vogliamo approfondirne qualcuna.

Riprendiamo in esame il campo magnetico generato da un sistema di correnti trifase nel traferro  di una macchina isotropa.  L'immagine è stata depurata di alcuni elementi per concentrarci meglio su quanto serve al nostro studio.

Ciò che osserviamo è la rappresentazione sotto forma di grafico di una grandezza fisica. Non occorre nemmeno specificare di quale grandezza si tratti dato che l'analisi  è generale e può essere applicata a ogni grandezza fisica che si comporti in modo simile. Ciò riguarda in particolare i fenomeni descrivibili in termini di onde.
Il grafico fornisce immediatamente una informazione importante: la grandezza F, a intervalli regolari, assume gli stessi valori. In particolare la sequenza dei valori di F si ripete uguale a se stessa dopo un intervallo T_s = π  (l'indice s sta per spaziale).
Se esiste una legge che metta in relazione   F con x ,  F = F(x), questa allora dovrà essere periodica con periodo T_s,   F(x+ T_s) = F(x).
La forma del grafico suggerisce che una sinusoide potrebbe costituire una  prima approssimazione. 


7.1 - Oscillazioni sinusoidali nello spazio e nel tempo

Il periodo naturale di funzioni, che rappresentano oscillazioni nello spazio, come cos(x) o sin(x) è 2π. Cliccando sui link le funzioni vengono scritte direttamente sul display di Sinus-Lab. Premi per visualizzarle sulla lavagna di sinistra. Per imparare ad usare efficacemente questo strumento svolgi la prossima attvità.

Esercitazione: come usare Sinus-Lab

Per avere nello stesso intervallo spaziale più di una oscillazione dobbiamo moltiplicare l'argomento x per un numero intero k⁽¹⁰⁾. Se per esempio k=3, cos(k⋅x) presenterà tre oscillazioni complete in [0, 2π].
Posto k = 2 (valore pre-impostato), dato che servono due oscillazioni complete, la funzione  f(x) = A⋅cos(k⋅x) ⁽¹¹⁾, come si vede, si sovrappone abbastanza  bene alla curva a gradini, ma non può seguirne la traslazione,  non avendo f(x) alcuna esplicita dipendenza dal tempo. In altre parole funzioni come A sin(k x) oppure A cos(k x) non dipendono dal tempo e rappresentano grandezze che variano sinusoidalmente nello spazio.

Supponiamo che una sinusoide trasli nello spazio, con una certa velocità. Immaginiamo un punto Q sulla sinusoide che  può essere identificato da un vettore  ψ_q, lo spostamento (ordinata) rispetto all'asse x. Fissata l'ascissa x_q di Q, vedremo il punto Q oscillare lungo una retta verticale.  Con quale legge avviene questa oscillazione? Ogni punto della sinusoide oscilla con la medesima legge temporale. Per comprendere questa affermazione osserviamo un diverso punto B che si muove su di una retta diversa. Possiamo notare che le oscillazioni di Q e B avvengono con la stessa frequenza ma sono sfasate nel tempo in ritardo (B a destra di Q) o in anticipo (B a sinistra) e questo sfasamento dipende dall'ascissa x del punto. 

Verifica che Q e B oscillano con la stessa frequenza

Ora cerchiamo di individuare la legge temporale del moto di B, con l'attività che segue.

Trova la legge del moto del punto B


7.2 - Onde armoniche progressive e regressive

Immaginiamo ora che un punto P sulla sinusoide mantenga sempre la stessa ordinata ψ rispetto all'asse x. Per mantenere costante ψ, P deve seguire necessariamente il moto della sinusoide.
Se al tempo \(t_1\) P si trova in una certa posizione \(x_1\), al tempo \(t_2\), trascorsi  \(\Delta t = t_2 - t_1\) secondi, raggiungerà una nuova posizione \(x_2\), dopo aver percorso la distanza  \(\Delta x = x_2 - x_1\).
P si muove allora con velocità  \(v = \frac {\Delta x}{\Delta t}\) costante da cui   \(\Delta t = \frac {\Delta x}{v}\), che si può scrivere come   \(t_2 - t_1 = \frac {\Delta x}{v}\)  e quindi :

(7.1) \[t_1=t_2-\frac{\Delta x}{v} \qquad \qquad t_1=t_2-\frac{x_2-x_1}{v} \]
che mette in relazione un istante \(t_2\) con quello che lo precede \(t_1\).
Se P deve mantenere costante l'ordinata avremo che:

(7.2) \[ \Psi(x_2,t_2) = \Psi(x_1,t_1) \]
che naturalmente vale anche per \(x_1=0\), cui corrisponde un tempo \(t_1=t_0\), dove \(t_0\) rappresenta l'istante di tempo in cui P passa per l'origine delle coordinate.
Dalla seconda delle (7.1) abbiamo : \[t_0=t_2-\frac{x_2-0}{v} \] ma \(t_2\) può essere in realtà un istante qualsiasi che indicheremo generalmente con t (senza alcun indice) con x (senza indice) la corrispondente ascissa:

(7.3) \[t_0=t-\frac{x}{v} \] Quindi:

\[ \Psi(x,t) = \Psi(0,t_0) \]
o più espicitamente:

(7.4) \[ \Psi(x,t) = \Psi\left(0,t-\frac{x}{v}\right) \]
Questa relazione dice che l'ordinata di un punto P(x,t) qualsiasi della sinusoide che al tempo t si trovi in x, può essere ottenuta conoscendo l'ordinata di P quando, al tempo precedente t₀, si trovava nell'origine, x =0. Resta ora da vedere come possiamo determinare \(\Psi(0,t_0) \).
Come abbiamo visto prima, ogni punto della sinusoide oscilla secondo la legge \(A \;cos(\omega t) \).
Nel momento in cui P passa per l'origine dovrà essere \( \Psi (0,t_0) = A \;cos(\omega t_0) \), ma allora:

(7.5) \[ \Psi (x,t) = A \;cos(\omega t_0) \]
e grazie alla (7.3):

(7.6) \[ \Psi (x,t) = A \;cos\left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right] \]
e posto:

(7.7) \[ k= \frac {\omega}{v} \]
si ha finalmente:

(7.8) \[ \Psi (x,t) = A \;cos (\omega \;t-k\; x) \]
Questa importante equazione, di valore generale, costituisce la legge delle cosiddette onde armoniche (cioè sinusoidali) progressive.
Ciò che si propaga nello spazio può essere pensato come una perturbazione rispetto allo stato 'di riposo' (o di equilibrio) di una certa grandezza fisica: pensiamo alle onde che si propagano nell'acqua a causa della perturbazione generata da un sasso gettato nello stagno.
La funzione \(\Psi(x,t) \) che esprime la legge secondo cui questa 'perturbazione' si propaga è anche detta funzione d'onda.
La (7.8) descrive un'onda sinusoidale progressiva, che si sposta nel verso positivo delle x e quindi verso destra, mentre la funzione:

(7.9) \[ \Psi (x,t) = A \;cos (\omega \;t+k\; x) \]
rappresenta un'onda sinusoidale regressiva, che si sposta  verso sinistra (x negative).


7.3 - Velocità di fase e lunghezza d'onda

La (7.7) è una relazione importante perchè definisce la velocità \(v\) dell'onda (nel nostro caso del campo rotante), infatti ricavando la velocità:

(7.10) \[ v= \frac {\omega}{k} \]
questa velocità è la cosiddetta velocità di fase dell'onda ed è la velocità con cui la sinusoide trasla senza deformazione nello spazio.
Il parametro \(k\) è il numero d'onde angolare e \(\omega=2 \pi f =\) \(\frac{2 \pi}{T} \) è la pulsazione in rad/s, \(f\) la frequenza, cioè il numero di oscillazioni al secondo, \(T\) il periodo (temporale): tempo necessario per compiere una oscillazione completa.
Consideriamo ancora il punto Q che all'origine si trova sulla  prima cresta dell'onda. Segnamo la posizione con un altro punto  e seguiamolo durante un'oscillazione completa di Q.
Compiuta una oscillazione la cresta si sarà spostata di una lunghezza λ . Essa è chiamata lunghezza d'onda e coincide appunto con la più piccola distanza tra punti della sinusoide aventi stessa ordinata. Poichè la distanza λ viene coperta in un tempo T (periodo dell'oscillazione), allora:

(7.11) \[\lambda = v\;T\]
usando la (7.7):

(7.12) \[\lambda = \frac{\omega\;T}{k}\] e considerando che \( \omega\;T = 2 \;\pi\)

(7.13) \[\lambda = \frac{2\;\pi}{k}\]
Quest'ultima relazione dovrebbe anche chiarire il senso di chiamare \(k\) numero d'onde. Infatti dalla (7.13) abbiamo anche:

(7.14) \[ k = \frac{2\;\pi}{\lambda}\]
\(k\) quindi rappresenta il numero di oscillazioni spaziali complete contenute in un intervallo di lunghezza pari a \( 2 \;\pi\) (il periodo naturale delle funzioni trigonometriche).
Nel caso del campo rotante la (7.10) permette di spiegare immediatamente perchè aumentando il numero di poli \(p\) (che ha il ruolo del numero d'onde \(k\)) la velocità del campo diminuisce: \(\omega\) è fissata ed è la pulsazione elettrica, quella cioè delle correnti; aumentare \(k\) significa quindi diminuire la velocità di fase \(v\) e ovviamente la lunghezza d'onda \(\lambda\).
Per quanto detto precedentemente il passo polare \(\tau\) coincide con \(\frac{\lambda}{2}\) e \(k\) (o \(p\)) può essere definito anche come:

(7.15) \[ k = \frac{\pi}{\tau}\]

7.4 - Onde stazionarie e campi controrotanti

Abbiamo già discusso il caso di un campo alternativo  (cap. 6) quale quello prodotto da una corrente alternata monofase. La distribuzione spaziale di un campo alternativo in una macchina isotropa è costituita da un'onda stazionaria. Tutti i punti, salvo i nodi (gli zeri della funzione), oscillano alla stessa frequenza, ma non vi è alcuno spostamento della configurazione.
Nel paragrafo 4.6 abbiamo appreso che una funzione periodica, come quella a gradini che rappresenta il campo alternativo, può essere approssimata mediante la prima armonica o fondamentale
.
Perché le formule per la fondamentale in 4.6 e qui sono diverse?

Questa legge fornisce però una configurazione di campo  statica.
Se \( H(x,t) = A \;cos(k\;x)\), dovrà essere l'ampiezza A a dipendere dal tempo, anzi, per quanto visto nelle sezioni precedenti, A(t) deve essere una funzione sinusoidale del tempo:

Per semplificare la scrittura possiamo porre \( C = \) \( \frac{4}{\pi}\frac{I}{2\;\delta}\) e quindi:


Otteniamo quindi la sinusoide fondamentale per il campo oscillante a gradini, fattorizzata secondo le componenti spaziale e temporale:

(7.16) \[ H(x,t)= C\;cos(\omega\;t)\;cos(k\;x)\]
Proviamo allora ad inserirla in Sinus-Lab per verificare che essa segua correttamente l'oscillazione del campo.
La formula (7.16) è suscettibile di una interessante trasformazione utilizzando la seconda delle formule di Werner (inverse delle formule  trigonometriche di prostaferesi):


Applichiamole allora la (7.17.2) alla (7.16):

(7.18)
\(H(x,t)\) può essere visto come somma di un'onda regressiva \(\frac 12 C \; cos( \omega \; t + k \; x) \) e di un'onda progressiva \(\frac 12 C \; cos( \omega \; t - k \; x) \) di ampiezza pari alla metà del  valore massimo di \(H(x,t)\).

Questo è un risultato del tutto generale:

la somma di un' onda regressiva e di un' onda progressiva di pari frequenza dà come risultato un' onda stazionaria.

Ricordiamo che  nel paragrafo 6 abbiamo  rappresentato un campo alternativo mediante la somma di due vettori controrotanti di metà ampiezza. La (7.18) ne fornisce una bella giustificazione matematica.

7.5 - Campo rotante e armoniche spaziali

Lo studio delle armoniche del campo rotante richiede la conoscenza dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni periodiche. Per convenienza didattica abbiamo posto k=1 (macchina bipolare) e q=1 (un solo conduttore per polo e per fase).
Come già evidenziato nel paragrafo 4.6, un'onda rettangolare è esprimibile come somma di armoniche dispari,  sinusoidi la cui frequenza spaziale è un multiplo dispari della fondamentale \(A\;sin(x)\) . Le ampiezze delle armoniche decrescono in ragione inversa all'ordine dell'armonica e quindi solo le prime armoniche, come la terza: \(\frac{A}{3}\;sin(3\;x)\), la quinta: \(\frac{A}{5}\;sin(5\;x)\), la settima: \(\frac{A}{7}\;sin(7\;x)\) sono significative. Nelle nostre considerazioni ci limiteremo a considerare solo la terza e la quinta armonica.
Poichè abbiamo a che fare con campi alternativi, le sinusoidi devono rappresentare onde stazionarie e quindi avremo, ad esempio per la fase 1: \(A\;cos(\omega\;t)\;sin(x)\), \(\frac{A}{3}\;cos(\omega\;t)\;sin(3\;x)\) e \(\frac{A}{5}\;cos(\omega\;t)\;sin(5\;x)\), ecc. Si noti che la dipendenza temporale - \(cos(\omega\;t)\) - è la stessa per tutte le armoniche riferentesi alla stessa fase.


7.5.1 - Prima armonica o fondamentale

Come detto è possibile approssimare i campi rettangolari prodotti da ciascuna fase mediante la relativa fondamentale. Detto B_j il campo magnetico prodotto dalla fase j (j=1,2,3) e B_Mj l'ampiezza della corrispondente sinusoide fondamentale, abbiamo:

(7.19)     \(B_1 = B_{M1}\;cos(\omega\;t)\;sin(x)\)                          fase 1

(7.20)     \(B_2 = B_{M2}\;cos\left(\omega\;t - \frac{2\;\pi}{3}\right)\;sin\left(x-\frac{2\;\pi}{3}\right)\)      fase 2

(7.21)      \(B_3 = B_{M3}\;cos\left(\omega\;t - \frac{4\;\pi}{3}\right)\;sin\left(x-\frac{4\;\pi}{3}\right)\)     fase 3

Sommando le tre sinusoidi, poste uguali a B_M le tre ampiezze:

\[B(x,t) = B_M\left[cos(\omega t)sin(x)+cos\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)+ cos\left(\omega t-\frac{4\pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{4\pi}{3}\right)\right]\]
Applicando la prima formula di Werner (7.17.1) avremo per i prodotti:
\[cos(\omega t)sin(x)= \frac 12 [sin(x+\omega t)+sin(x-\omega t)]\] \[ cos\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)= \frac 12 \left[sin(x+\omega t-\frac{4\pi}{3})+sin(x-\omega t)\right]\] \[ cos\left(\omega t-\frac{4 \pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{4 \pi}{3}\right)= \frac 12 \left[sin\left(x+\omega t-\frac{8\pi}{3}\right)+sin(x-\omega t)\right]\]
Sommando le precedenti otteniamo:

(7.22) \[\frac 32 sin(x-\omega t) +\frac 12 \left[ sin(x+\omega t) +sin\left(x+\omega t-\frac{4 \pi}{3}\right) + sin\left(x+\omega t-\frac{8\pi}{3}\right)\right] \]
La somma tra parentesi quadre in (7.22) è nulla perchè somma di tre sinusoidi sfasate di 2π/3 (−4π/3 equivale a 2π/3 e −8π/3 equivale a 4π/3).  Quindi la prima armonica, o fondamentale del campo è data da:

(7.23) \[ B(x,t) = \frac 32\; B_M\;sin(x-\omega t) \]
che come ormai sappiamo è un campo progressivo.
Da notare come i massimi (o i minimi) della risultante siano di volta in volta in fase con i massimi (o i minimi) di ciascuna delle fondamentali in sequenza.


7.5.2 - Terza armonica 

Ragioniamo ora sulle sinusoidi di 3^a armonica rappresentate dalle funzioni: 

(7.24)        \(B_{13} = B_{M13}\;cos(\omega\;t)\;sin(3x)\)                         fase 1

(7.25)       \(B_{22} = B_{M23}\;cos\left(\omega\;t - \frac{2\;\pi}{3}\right)\;sin(3x-2\;\pi)\)        fase 2

(7.26)        \(B_{33} = B_{M3}\;cos\left(\omega\;t - \frac{4\;\pi}{3}\right)\;sin(3x-4\;\pi)\)        fase 3

dove il secondo indice si riferisce al numero o ordine dell' armonica.
Rappresentando contemporanemente le tre sinusoidi di  3^a armonica si nota subito un fatto interessante: due di esse sono sempre in fase ed in opposizione alla rimanenente. Ciò comporta che la loro somma sia sempre nulla.
Infatti:

\[ B_{3ar}(x,t) = \frac{B_M}{3}\left[cos(\omega t)sin(3x)+cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)sin(3x-2\pi)+cos\left(\omega t - \frac{4\pi}{3}\right)sin(3x-4\pi)\right] \]
Poichè \(sin(3x-2\pi)=sin(3x-4\pi)=sin(3x)\), raccogliendo il fattore comune \(sin(3x)\):
 
(7.27)     \[ B_{3ar}(x,t) = \frac{B_M}{3}sin(3x) \left[cos(\omega t)+cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(\omega t - \frac{4\pi}{3}\right)\right] = 0 \]
avendo anche qui, tra parentesi quadre, una somma di sinusoidi sfasate di 2π/3.
Questo è un dato  fondamentale e del tutto generale:

le terze armoniche spaziali del campo rotante trifase, così come tutte le armoniche multiple della terza (9, 15, ...), sono nulle.
 
Ai fini pratici  restano quindi significative solamente la quinta e la settima armonica.


7.5.3 - Quinta armonica

Relativamente alla 5^a armonica:

(7.28)       \(B_{15} = B_{M15}\;cos(\omega\;t)\;sin(5x)\)                                   fase 1

(7.29)       \(B_{25} = B_{M25}\;cos\left(\omega\;t - \frac{2\;\pi}{3}\right)\;sin\left(5x-\frac{10\;\pi}{3}\right)\)          fase 2

(7.30)       \(B_{35} = B_{M35}\;cos\left(\omega\;t - \frac{2\;\pi}{3}\right)\;sin\left(5x-\frac{20\;\pi}{3}\right)\)          fase 3

Anche in questo caso possiamo osservare le oscillazioni delle tre sinusoidi di 5^a armonica. Sommate danno come risultante:

\[ B_{5ar}(x,t)=\frac{B_M}{5}\left[cos(\omega t)sin(5x)+cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)sin\left(5x-\frac{10\pi}{3}\right)+cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)sin\left(5x-\frac{20\pi}{3}\right)\right] \]
Applicando anche qui le formule di Werner (7.17.1):

      \(cos(\omega t)sin(5x)= \frac 12 \left[sin(5x+\omega t)+sin(5x-\omega t)\right]\)

      \( cos\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)sin\left(5x-\frac{10 \pi}{3}\right)= \frac 12 \left[sin(5x+\omega t-4\pi)+sin\left(5x-\omega t -\frac{8\pi}{3} \right)\right]\)

      \( cos\left(\omega t-\frac{4 \pi}{3}\right)sin\left(5x-\frac{20 \pi}{3}\right)= \frac 12 \left[sin(5x+\omega t-8\pi)+sin\left(5x-\omega t-\frac{16\pi}{3}\right)\right]\)

Tenendo presente che \(sin(5x+\omega t)=sin(5x+\omega t-4\pi)=sin(5x+\omega t-8\pi)\) e sommando:

\[ B_{5ar}(x,t)=\frac{B_M}{5}\left\{ \frac 32 (sin(5x+\omega t) + \frac 12 \left[sin(5x-\omega t)+sin\left(5x-\omega t -\frac{8\pi}{3} \right)+ sin\left(5x-\omega t-\frac{16\pi}{3}\right)\right]\right\} \] Ancora una volta in parentesi quadre abbiamo sinusoidi sfasate di  2π/3  a somma nulla. Allora per la quinta armonica risultante:

(7.31) \[ B_{5ar}(x,t)=\frac 32 \frac{B_M}{5} sin(5x+\omega t)\]
che è un campo regressivo (si muove in verso contrario alla fondamentale, verso sinistra).
Con analoghi passaggi è possibile dimostrare che, ad esempio la settima armonica è progressiva, l'undicesima  regressiva, ecc.
L'ordine delle armoniche può essere ottenuto dalla formula:

(7.32)       n = 6k ±  1    k= 0,1, 2, 3,.. k ∈ Z

Usando il segno meno nella (7.32) , n = 6k−1,  al variare di k si hanno gli ordini: 5, 11, 17, ...⁽¹²⁾ con  il segno più,  n = 6k+1, gli ordini: 1, 7, 13, 19
Le armoniche di ordine 6k+1 (k= 0,1, 2, 3,..) sono progressive, ivi compresa la fondamentale, n=1. Le armoniche di ordine 6k−1 (k= 0,1, 2, 3,..)  sono invece regressive.


7.5.4 - Approssimazione del campo a gradini con prima e quinta armonica

Ora vediamo quale sia l'aspetto del campo descritto dalla somma della fondamentale e della 5^a armonica:

(7.33) \[ B(x,t)=\frac 32 B_M sin(x-\omega t)+ \frac 32 \frac{B_M}{5} sin(5x+\omega t)\]
Confrontiamo  questa funzione con il campo risultante e osserviamone  l'evoluzione.
L'approssimazione è piuttosto buona: la  (7.33) è in grado di descrivere con soddisfacente precisione la deformazione del campo a gradini durante il suo moto.


7.5.5 - Velocità delle armoniche

È interessante notare che la velocità delle armoniche spaziali è inferiore a quella della fondamentale e precisamente è pari a 1/n della velocità di fase della fondamentale. Ciò vale per tutte le armoniche spaziali.
Ad esempio  n₅ = n₁/5 o n₇ = n₁/7.


7.5.6 - Effetti delle  armoniche del campo rotante

Le armoniche spaziali presenti nel campo rotante cosituiscono un disturbo  che si vorrebbe evitare. Si avrebbe un forma sinusoidale del campo solo se la distribuzione delle correnti nello statore (i conduttori dell'avvolgimento alloggiati nelle cave) fosse continua. Ci si avvicina alla forma sinusoidale tanto più quanto maggiore è il numero delle cave e conseguentemente minore la distanza tra esse (limite ideale: numero infinito di cave e distanza nulla).
Le armoniche spaziali del campo provocano un aumento delle perdite nel ferro nei rotori a causa della frequenza delle correnti che vi sono indotte.
La frequenza delle fem e delle correnti indotte dipende dalla differenza di velocità Δn tra campo rotante  e rotore. Se vi sono p coppie polari e la velocità è espressa in giri/s:

        f = p⋅Δn

In una macchina sincrona, ad esempio, il rotore ruota alla stessa velocità della fondamentale del campo rotante n₁. La prima armonica del campo non ha effetti dato che  la differenza di velocità Δn = n₁−n₁=0.  Notiamo però che la 5^a armonica si muove in verso contrario al campo e quindi Δn = n₁+n₅ = 5n₅+n₅  =  6n₅.
La 5^a armonica è formata da 5p coppie di poli magnetici. La frequenza delle correnti indotte dalla 5^a armonica è allora :

        f₅  = 5p⋅( n₁+n₅) = 5p⋅( 5n₅+n₅) = 5p ⋅6n₅ = 6p ⋅n₁= 6⋅f₁

La frequenza delle correnti indotte dalla 5^a armonica spaziale è 6 volte quella fondamentale.
Lo stesso risultato si ottiene per la 7^a armonica:

        f₇ = 7⋅p(n₁-n₇) = 7p(7n₇-n₇) = 7p ⋅6n₇= 6p⋅7n₇ = 6p ⋅n₁= 6⋅f₁

mentre per la 11^a e la 13^a armonica si hanno frequenze pari  a 12⋅f₁
I campi di 5^a e  7^a armonica  provocano deformazioni nella caratteristica meccanica. In particolare la deformazione indotta dalla 7^a armonica può portare talvolta all'impuntamento del motore (funzionamento a bassa velocità e alta corrente).


7.6 - Testi dell'autore





7.7 - Approfondimenti e ricerche

Suggeriamo alcune parole chiave, anche in lingua inglese, per effettuare ricerche mirate utilizzando la casella di ricerca sottostante. L'elenco non è ovviamente esaustivo.
"Campo magnetico rotante", "Rotating magnetic fields", "Motore a induzione", "Induction motor", "Motore asincrono", "Asynchronous motor", "Alternatore", "Alternator", "Motore sincrono", "Synchronous motor", "Armoniche", "Harmonics", "Onde progressive", "Progressive waves", "Onde stazionarie", "Standing waves", ecc.

 

Rev. 23/08/2016