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La Corrente Alternata

Grandezze elettriche sinusoidali. Valori medi ed efficaci.
Vettori rotanti e fasori. Il metodo simbolico.

Sintesi: si discute di come generare forze elettromotrici alternate sinusoidali e di come si possano rappresentare queste grandezze attraverso vettori rotanti di data velocità angolare e fasori. Si definiscono le caratteristiche fondamentali : ampiezza, frequenza, pulsazione, fase, valor medio, valore efficace. Viene infine introdotto il metodo simbolico che, grazie ai numeri complessi, consente di trasformare operazioni su sinusoidi in calcolo algebrico.

1 - Sinusoidi, vettori rotanti, fasori

Premessa.
Una forza elettromotrice (abbr. fem, simboli: \(\small e, e(t), E\)) fisicamente è una differenza di potenziale (ddp), misurata in volt, che si manifesta tra due punti dello spazio. La differenza di potenziale \(\small \Delta V\) è indissolubilmente legata alla presenza di un campo elettrico \(\small \vec{E}\), tanto che la ddp è spesso chiamata "lavoro del campo elettrico", \(\small \Delta V = \vec{E} \cdot \Delta \vec{l}\), in analogia con il lavoro di una forza.
Tale campo elettrico quando agisce su cariche mobili (es. in un conduttore) le separa: le cariche positive si muovono secondo il campo, quelle negative contro il campo, dando origine ad una polarità elettrica.
La fem è una differenza di potenziale tipicamente prodotta all'interno di un generatore.

1.1 - Generazione di una forza elettromotrice alternata sinusoidale

Per generare una fem, secondo la legge generale dell'induzione elettromagnetica, si deve avere una variazione di flusso magnetico (vedere in seguito) concatenato con un circuito elettrico. Un modo per ottenere ciò consiste nel produrre un moto relativo tra un campo magnetico ed un conduttore o un circuito elettrico. ⁽¹⁾. Dovendo mantenere limitate le dimensioni del sistema generatore, risulta conveniente far ruotare con velocità angolare costante (moto circolare uniforme) un conduttore dentro un campo magnetico. Diciamo anche che è del tutto indifferente se sia il conduttore a muoversi rispetto al campo magnetico, o viceversa. Ciò che importa, ai fini della generazione della fem indotta, è il moto relativo tra campo magnetico e conduttore.

1.1.1 - La forza di Lorentz

Una carica elettrica q che si muova con velocità v entro un campo magnetico B è soggetta ad una forza:
\[ \vec F = q \cdot \vec v \times \vec B \] detta forza di Lorentz ⁽²⁾.
Se la velocità e il campo magnetico sono perpendicolari tra loro avremo semplicemente, in modulo : \[ F = q v B \] altrimenti, in generale: \[ F = q v B \; sin(\alpha) \] dove α è l'angolo secondo cui il conduttore taglia le linee di campo magnetiche.
Questa forza separa le cariche elettriche.
Nel nostro esempio le cariche positive, se fossero libere di muoversi, sarebbero spinte nella direzione indicata dalla freccia durante il moto del conduttore; gli elettroni liberi vengono invece spinti verso la parte opposta. Nella prima metà di giro si ha quindi per il conduttore un accumulo di cariche positive verso l'estremo R (punta della freccia) e un corrispondente accumulo di elettroni all'altro estremo. La situazione si inverte nella seconda metà di giro.
Le cariche separate dalla forza di Lorentz danno origine ad un campo elettrico \( \small \vec{E}\) tale che, in condizioni di equilibrio si abbia: \[ q\vec E = - q \cdot \vec v \times \vec B \] in modulo: \[ qE = q v B \; sin(\alpha) \] con \(\small \alpha\) che dipende dal tempo secondo la legge: \(\small \alpha=\pi-\omega t \) (si veda la figura seguente per la denominazione degli angoli) poichè si tratta di moto circolare uniforme con velocità angolare \(\small \omega\), ma \(\small sin(\pi-\omega t) = sin(\omega t) \). Quindi: \[ qE = q v B \; sin(\omega t) \] il che ci dice che il campo elettrico all'interno del conduttore è un campo alternato sinusoidale: \[ E(t) = v B \; sin(\omega t) \] Esso è conseguenza di una continua oscillazione delle cariche elettriche provocata dalla forza di Lorentz e dal moto circolare uniforme del conduttore.
Le polarità agli estremi del conduttore variano continuamente con una frequenza pari a quella della sinusoide, \( f = \frac{\omega}{2 \pi}\), o, se preferiamo, del moto circolare uniforme.
In ogni istante di tempo  il campo elettrico \(\vec{E}\) è costante su tutta la lunghezza \(\vec{l}\) (considerata come vettore spostamento) del conduttore e quindi tra gli estremi del conduttore si manifesterà una differenza di potenziale (ddp) o forza elettromotrice (fem):⁽³⁾ \[ e(t) = \vec{E} \cdot \vec{l} = v B \; sin(\omega t) l\] (non confondiamo \(e(t)\), fem o ddp, con \(E(t)\), campo elettrico).
Quindi per effetto della Forza di Lorentz avremo: \[e(t) = Blv \; sin(\omega t) \] che rappresenta la differenza di potenziale agli estremi del conduttore.
Questa è la cosiddetta forza elettromotrice indotta.

1.1.2 - Ruolo della componente trasversale della velocità

Nel nostro caso il campo magnetico \(\small B\), detto anche campo induttore, è mantenuto costante, la lunghezza del conduttore \(l\) (detto anche lato attivo) a sua volta non varia, la velocità \(\small v\) è costante in modulo trattandosi di moto circolare uniforme di frequenza \(\small f\) con velocità angolare costante \(\small \omega = 2 \pi f\), ma cambia continuamente direzione in relazione al variare dell'angolo \(\small \omega t\).
Quando \(\small \omega t = 0 \), \(\small \alpha = \pi - \omega t = \pi\) e quando \(\small \omega t = \pi \), \(\small \alpha = \pi - \omega t = 0\). In entrambe i casi si ha \(\small sin(\alpha) = 0\). Da ciò comprendiamo che se il conduttore si muove in una direzione parallela o antiparallela rispetto al campo magnetico la fem indotta è nulla: \[e(t) = Blv \; sin(0) = Blv \; sin (\pi) = 0 \] l'effetto invece è massimo quando il conduttore taglia le linee di campo trasversalmente \(\small \omega t = \frac{\pi}{2} + k \pi \quad (k = 0, 1, 2, ...)\), in tal caso: \[e(t) = Blv \; sin(\frac{\pi}{2} + k \pi) = \pm Blv \] dove il doppio segno \(\pm\) indica l'alternarsi del verso della fem, cioè della sua polarità. La velocità periferica può essere scomposta secondo due direzioni: l'una parallela (o antiparallela) rispetto alle linee di campo e l'altra perpendicolare a queste ultime.

Solamente la componente trasversale della velocità è rilevante ai fini della produzione della fem indotta; la componente parallela della velocità invece non ha alcun effetto.

1.1.3 - Verso della forza elettromotrice indotta

Il verso delle forze elettromotrici è legato al principio di conservazione dell'energia che, nel caso dei fenomeni di induzione elettromagnetica è espresso dalla legge di Lenz,  secondo la quale:
i fenomeni riconducibili all'induzione elettro-magnetica avvengono con modalità tali da contrastare le cause che li hanno generati.
Il segno meno che compare in alcune formulazioni della legge dell'induzione elettromagnetica ha a che fare con questa legge e quindi con i versi (una volta stabilito convenzionalmente un verso positivo) delle grandezze in gioco.
L'animazione in lavagna mette in evidenza i versi delle fem che possono anche essere individuati mediante una regola empirica detta regola della mano destra (o dei generatori) ⁽⁴⁾ .

Approfondisci:

Le leggi di Faraday, Lenz e i versi delle fem indotte

1.2 - Le sinusoidi

Come è noto una sinusoide è il grafico della funzione trigonometrica \(\small sin(\alpha)\) o \(\small cos(\alpha)\)⁽⁵⁾ in funzione dell'angolo \(\small \alpha\), misurato in radianti.
Queste curve sono particolarmente importanti, in Fisica, per la descrizione dei fenomeni oscillatori, dal moto armonico alle onde.
Un moto circolare uniforme, ad esempio, dà come proiezione una oscillazione armonica, che messa in grafico in funzione del tempo è proprio una sinusoide.
Nella rappresentazione matematica dei fenomeni oscillatori di tipo armonico, \(\small \alpha\) è funzione del tempo secondo una relazione \(\small \alpha = \omega t \), in cui \(\small \omega = 2 \pi f\) è una grandezza legata alla frequenza \(\small f\) dell'osclllazione, detta pulsazione. D'altra parte la pulsazione \(\small \omega\) è definita esattamente come la velocità angolare di un moto circolare uniforme. Vedremo in seguito come sarà possibile far corrispondere alle osclillazioni di grandezze elettriche, moti circolari uniformi di particolari entità matematiche: i vettori rotanti.
Poichè \(\small \alpha\) è misurato in radianti e \(\small t\) in secondi, le dimensioni di \(\small \omega\) sono: radianti/secondo [rad/s].
Una sinusoide che descriva un fenomeno oscillatorio avrà una espressione analitica generale del tipo:
\[y(t) = Y_M sin(\omega t + \varphi) \] dove \(\small Y_M\) rappresenta l'ampiezza (l'indice M sta per Massimo. \(\small Y\) senza indici indica di solito il valore efficace), \(\small \omega = 2 \pi f \) è la pulsazione, \(\small f\) è la frequenza, misurata in Hz, cioè il numero di oscillazioni nell'unità di tempo e \(\small \varphi\) è la fase.
L'unità di misura di \(\small Y_M\) dipende dalla grandezza fisica che si sta rappresentando: ad esempio se \(\small y(t)\) è una corrente \(\small Y_M\) si misurerà in ampére, se \(\small y(t)\) è una tensione\(\small Y_M\) sarà misurata in volt, e così via.
Si definisce anche il periodo \(\small T = \frac{1}{f}\), tempo necessario per compiere una oscillazione completa. Se rappresentiamo la sinusoide in funzione dell'angolo, il periodo è dato da \(\small \omega T = 2 \pi\).
Il ruolo di questi parametri può essere compreso sia interagendo con la figura sopra a destra, sia leggendo il seguito della lezione.

1.2.1 - Valor medio di una grandezza sinusoidale

Diamo ora le importanti definizioni di valor medio e valore efficace di una sinusoide. Tenteremo di comprendere questi concetti sia dal punto di vista matematico che fisico.
 Immaginiamo che il grafico della lavagna a sinistra rappresenti l'andamento di una corrente \(\small i(t) = I_M sin(\omega t)\), alternata sinusoidale. La definizione di corrente elettrica è \(\small i(t) = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\), dove \(\small \Delta Q\) è la quantità di carica elettrica che attraversa una sezione del conduttore nel tempo \(\small \Delta t\). Disegnamo sotto la curva un rettangolo di base \(\small \Delta t\) e di altezza \(\small i(t_1)\) il valore istantaneo della corrente al tempo \(\small t_1\), ad esempio. L'area di questo rettangolo misura proprio la quantità di carica che fluirebbe nel circuito se durante questo intervallo temporale la corrente rimanesse costante al valore \(\small i(t_1)\): \(\small Q = i(t_1) \cdot \Delta t\).

Aumentando il numero degli intervalli e quindi dei rettangoli sotto la prima semionda, osserviamo che si giunge a calcolare, con sempre migliore approssimazione, l'area delimitata dalla curva e dall'asse dei tempi.

Attività 1


Per chi conosce il calcolo differenziale questa è la dimostrazione analitica:
\[\int_{0}^{\frac{T}{2}} i(t)\, dt = \int_{0}^{\frac{T}{2}} I_M sin(\omega t)\, dt = \frac{I_M}{\omega} \int_{0}^{\pi} sin(\omega t)\, d (\omega t) = \] \[= \frac{I_M}{\omega} [- cos (\omega t)]_0^\pi = \frac{I_M}{\omega} [-cos(\pi)+ cos(0)] = \frac{I_M}{\omega} [-(-1)+1] = 2\frac{I_M}{\omega} \] Dalle considerazioni precedenti concludiamo che quest'area rappresenta la quantità di carica elettrica che fluisce in una certa direzione.
Possiamo ripetere il discorso per il secondo semiperiodo della sinusoide e calcolarne allo stesso modo l'area.
Otteniamo però in questo caso un'area negativa. Ciò è comprensibile dal punto di vista matematico, in quanto l'altezza dei rettangoli sotto la semionda negativa è un segmento negativo.
Dal punto di vista fisico l'area negativa rappresenta non tanto una carica negativa, quanto piuttosto una carica che fluisce in verso opposto alla prima. Questo ci dice che se osserviamo la carica che attraversa una certa sezione del conduttore per un intero periodo registreremo un flusso totale di carica pari a zero, perchè tanta carica fluisce in una direzione, altrettanta ne fluisce nella direzione opposta. La carica totale che ha attraversato la sezione del conduttore in un periodo di oscillazione della corrente è nulla, così come l'area totale delimitata dalla sinusoide.
Come definiamo allora il valore medio di una sinusoide?
L'interpretazione fisica ci può aiutare. Se la sinusoide rappresenta una corrente, il suo valor medio è una corrente costante nel tempo (una corrente continua) che trasporta, in un dato intervallo di tempo, la stessa quantità di carica.
Se l'intervallo di tempo considerato è il periodo \(\small T\), il valor medio è chiaramente nullo.
Per questo motivo si definisce, per la sinusoide un valor medio su mezzo periodo, anzi, quando si parla di valor medio di una sinusoide si intende proprio il valore medio sul semiperiodo.
Abbiamo allora per \(\small I_m\), valor medio della sinusoide sul semiperiodo, utilizzando il precedente risultato:
\[ I_m = \frac{Area}{\frac{T}{2}}= \frac{\int_{0}^{\frac{T}{2}} i(t)\, dt}{\frac{T}{2}} = \frac{2 I_M}{\omega \frac{T}{2}}= \frac{4 I_M}{\omega T} = \frac{4 I_M}{2 \pi} = \frac{2}{\pi}I_M \] Quindi, essendo \( \small \frac{2}{\pi} = 0,637\): \[ I_m = 0,637 I_M \].

1.2.2 - Valore efficace (RMS) di una grandezza sinusoidale

Immaginiamo ora di moltiplicare la sinusoide per se stessa, cioè di valutare e rappresentare la funzione \(\small i^2(t) = I^2_M sin^2(\omega t) \).
Ad un primo esame la curva risultante sembra essere a sua volta una sinusoide, ma ciò deve essere dimostrato. In effetti una nota relazione trigonometrica permette di affermare che \(\small sin^2(\omega t)= \frac{1 - cos(2\omega t)}{2} \) e quindi:
\[ i^2(t) = \frac{I^2_M}{2}[1 - cos(2 \omega t)]= \frac{I^2_M}{2} - \frac{I^2_M}{2} cos(2 \omega t) \] nella quale individuiamo una componente costante nel tempo: \(\small \frac{I^2_M}{2} \) e una cosinusoide di pulsazione \(\small 2 \omega \) e ampiezza \(\small \frac{I^2_M}{2} \): \[ - \frac{I^2_M}{2}cos(2 \omega t)= \frac{I^2_M}{2} cos(2 \omega t \pm \pi) \] Si noti come abbiamo assorbito  il segno meno nella fase ±π.
Riscriviamo allora l'espressione precedente:
\[ i^2(t) = \frac{I^2_M}{2} + \frac{I^2_M}{2} cos(2 \omega t \pm \pi) \] Abbiamo quindi una cosinusoide traslata della quantità \(\small \frac{I^2_M}{2} \) e di frequenza doppia rispetto a \(\small i(t) \), proprio come risulta dal grafico di \(\small i^2(t) \).
Supponiamo ora che la corrente \(\small i(t) \) attraversi una resistenza R. Possiamo allora rappresentare la potenza \(\small p(t) = R \,i^2(t) \), che ha ovviamente lo stesso andamento di \(\small i^2(t) \) essendo R una costante (se trascuriamo la variazione dovuta alla temperatura).

Con un procedimento analogo al precedente possiamo calcolare l'area delimitata dalla curva \(\small R\, i^2(t) \). Le dimensioni di quest'area sono [Potenza x tempo]= [W x s]=[J] e quindi si tratta di un'energia: l'energia che, per effetto Joule viene dissipata in calore sulla resistenza R percorsa dalla corrente \(\small i(t) \).
Il valor medio di \(\small R i^2(t) \) è rappresentato dall'altezza di un rettangolo, con base il periodo, di valore pari a metà del valore massimo. Si può facilmente osservare che l'area sotto la sinusoide è uguale a quella del rettangolo se si pensa di riempire i vuoti del rettangolo con le parti di area della sinusoide non contenute nel rettangolo. Essendo allora l'altezza del rettangolo pari a \(\small R \frac{I^2_M}{2} \) e
\(\small \frac{I^2_M}{2}= \frac{I_M}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_M}{\sqrt{2}} \), definiamo il valore efficace o RMS (Root Mean Square, radice quadrata della media dei quadrati) di i(t): \[I = \frac{I_M}{\sqrt{2}} \]
Possiamo quindi dire che il valore efficace di una corrente alternata è il valore che dovrebbe avere una corrente continua per trasportare la stessa energia della corrente alternata.

Vediamo ora una dimostrazione analitica di quanto detto.
Calcoliamo dapprima l'area sotto la curva \(i^2(t) \):

\[\int_{0}^{T} i^2(t)\, dt = \int_{0}^{T} I^2_M sin^2(\omega t)\, dt = \frac{I^2_M}{\omega} \int_{0}^{2 \pi} sin^2(\omega t)\, d (\omega t) = \frac{I^2_M}{\omega} \pi \] e quindi il valor medio di quest'area, che è il valore efficace (indicato semplicemente con \(\small I \), di solito senza alcun indice):
\[I = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i^2(t)\, dt} = \sqrt{\frac{I^2_M}{\omega T} \pi} = \sqrt{\frac{I^2_M}{2 \pi} \pi} = \sqrt{\frac{I^2_M}{2}} = \frac{I_M}{\sqrt{2}}\]

1.3 - Rappresentazione vettoriale delle sinusoidi 

Le sinusoidi possono essere rappresentate da una particolare categoria di vettori: i vettori rotanti di data velocità angolare \(\omega \).


Attività 2


Proiettando il vettore \(\small \vec{E_1} \) sull'ordinata e mettendo in grafico questi valori in funzione degli istanti di tempo corrispondenti otteniamo proprio la sinusoide \(\small e_1(t) \). La rappresentazione delle sinusoidi attraverso i vettori rotanti è particolarmente utile, come vedremo, per eseguire calcoli sulle sinusoidi stesse.
Ad esempio, dovendo sommare due sinusoidi occorrerebbe procedere al calcolo della somma per ogni punto (per ogni istante) e quindi alla rappresentazione della sinusoide risultante. Come si capisce si tratta di un procedimento molto laborioso.
Se fosse possibile trasformare operazioni sulle sinusoidi in operazioni che sappiamo eseguire sui vettori (somma , sottrazione, prodotto scalare, prodotto e divisione per uno scalare, ecc), la semplificazione sarebbe notevole.
In primo luogo occorre che non vi siano possibili ambiguità nella corrispondenza sinusoide \(\iff \) vettore. Ovvero non deve essere possibile che uno stesso vettore rappresenti più sinusoidi, o che inversamente, una sinusoide possa corrispondere a più vettori. Occorre cioè che la corrispondenza sia biunivoca.
Se facciamo corrispondere:

• la velocità angolare \(\small \omega= \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} \) del vettore con la pulsazione \(\small \omega = 2 \pi f \) della sinusoide;
• il modulo del vettore con l'ampiezza della sinusoide;
• la fase del vettore con la fase della sinusoide

non vi è alcuna possibile ambiguità.

1.3.1 - Pulsazione e frequenza

La pulsazione \(\small \omega \), misurata in rad/s [radianti al secondo], è legata alla frequenza dalla relazione \(\small \omega = 2 \pi f \). La frequenza è il numero di oscillazioni nell'unità di tempo e si misura in Hz [hertz].
La pulsazione della sinusoide corrisponde alla velocità angolare del vettore rotante.

Attività 3

1.3.2 - Ampiezza

E' il valore massimo che può assumere la sinusoide. Nel nostro caso I_M.
L'ampiezza della sinusoide corrisponde al modulo del vettore rotante corrispondente.

Attività 4

1.3.3 - Fase

L'angolo di fase della sinusoide è quello che determina il valore iniziale della sinusoide.  
La fase della sinusoide corrisponde a quella del vettore rotante. 

Attività 5


Se si sono completate le azioni suggerite nell'attività 5 si sarà sicuramente notato che la fase determina il valore istantaneo che assume la sinusoide alla partenza, cioè all'istante iniziale.
Cosa significa tutto ciò?
Se inseriamo un valore di fase, ad esempio di 30°, notiamo che al tempo t=0, cioè nell'istante in cui cominciamo ad osservare il fenomeno (e facciamo partire il conteggio del tempo), la sinusoide parte  con un valore corrispondente a \(\small sin(30°)\), o meglio: \(\small sin( \pi/6)\), e il conduttore si trova anch'esso ad un angolo di 30°, \(\small \omega t = \pi/6\). In altre parole, quando inizio ad osservare la sinusoide il conduttore ha già coperto un angolo di 30°.
Il vettore rotante corrispondente, a sua volta, forma un angolo di 30° con l'asse di riferimento: l'asse delle ascisse, o asse reale come vedremo, che spesso non viene rappresentato nei diagrammi vettoriali.
Ancora: una fase di −30° indica che inizialmente \(\small e(t)|^{t=0} = sin(- \pi/6)\). Il conduttore deve percorrere 30° prima di ripassare per l'origine (0°) della rotazione. Il vettore rappresentativo si trova inizialmente a −30°.
In generale allora una grandezza sinusoidale sarà rappresentata da:
\[ e(t) = E \, sin(\omega t + \varphi)\] dove \(\small E\) è l'ampiezza della sinusoide (ed anche il modulo del vettore rotante) e \( \small \varphi\) è la fase.

1.3.4 - Anticipo e ritardo

E' uso comune dire che una sinusoide è in anticipo se presenta una fase positiva, in ritardo se la fase è negativa.
Bisogna ovviamente precisare il riferimento: la sinusoide è in anticipo o in ritardo rispetto a cosa?
Il riferimento, come sembra ovvio, è una sinusoide con fase 0° o 0 radianti.
Si comprende bene questo aspetto se, visualizzata la sinusoide, spostiamo il cursore φ a destra (anticipo) o a sinistra (ritardo). Nel primo caso la sinusoide si sposta verso sinistra (i valori istantanei anticipano quelli corrispondenti della sinusoide con φ=0). Nel secondo la sinusoide si sposta verso destra (i valori istantanei ritardano rispetto ai valori corrispondenti della sinusoide con φ=0).
    Se rappresentiamo contemporaneamente più sinusoidi, interessa anche definire uno sfasamento reciproco, cioè dire di quanto è sfasata in anticipo o in ritardo  una sinusoide (un vettore) rispetto all'altra.

Attività 6


Lo sfasamento tra le due sinusoidi, \(\small e_1(t)= E\,sin(\omega t +\varphi)\) rispetto a \( \small e_2(t) = E\,sin(\omega t +\psi)\), è dato dall'angolo: \(\small \beta =\varphi - \psi\) oppure, \( \small \beta =\psi - \varphi\) per lo sfasamento di \(\small e_2(t)\) rispetto a \(\small e_1(t)\).
Se \(\small |\beta| = \pi/2\) (90°) si dice che le sinusoidi sono in quadratura (in anticipo o in ritardo).
Ad esempio, se \(\small \varphi\) = 30° e \(\small \psi\) = −60°, \(\small \beta\) = 90° e \( \small e_1(t)\) è in quadratura in anticipo su \(\small e_2(t)\).

Spesso in Fisica, nello studio delle oscllazioni, si preferisce rappresentare le sinusoidi mediante la funzione coseno, \( \small e_1(t) = E_M \, cos(\omega t + \psi)\). In tal caso è sufficiente considerare la proiezione del vettore sull'ascissa, anzichè sull'ordinata e dare alla fase \(\small \psi\) il valore \( \small \psi = \varphi- \pi/2\) (\( \small E_M = Blv\)).

1.4 - I fasori

Abbiamo visto come sia possibile rappresentare sinusoidi tramite vettori rotanti. Anzi abbiamo potuto stabilire che sotto certe condizioni esiste una corrispondenza biunivoca tra questi vettori e le sinusoidi.
Una condizione fondamentale per questo tipo di rappresentazione è l'isofrequenzialità: delle sinusoidi e corrispondenti vettori rotanti. Questo ci libera dalla dipendenza temporale, poichè tutti i vettori ruotano con la stessa velocità, e quindi la grandezza è perfettamente determinata dal vettore all'istante iniziale. Possiamo allora creare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle sinusoidi isofrequenziali e i fasori , cioè la rappresentazione del vettore rotante all'istante iniziale. Un fasore è quindi caratterizzato solamente da ampiezza (modulo) e fase.
Un fasore \( \small \textbf Y \) può essere rappresentato in forma polare (forma di Steinmetz): \( \small \textbf{Y} = Y \angle \alpha °\) dove \( \small Y \) è il modulo del vettore e \( \small \alpha \) è la fase espressa in gradi. Il segno \( \small \angle \) indica l'angolo.
Normalmente il modulo del fasore è dato dal valore efficace della grandezza sinusoidale: \( \small Y = Y_M / \sqrt{2}\)

Attività 7


Riassumendo:
i fasori sono vettori fissi. Essi conservano l'informazione dello stato iniziale. Poichè le grandezze sono isofrequenziali esse evolveranno nel tempo tutte allo stesso modo, quindi ai fini dello studio del sistema è importante solo lo stato iniziale. Tuttavia non tutti i sistemi sono descrivibili con i fasori isofrequenziali. Solamente i sistemi lineari soddisfano i requisiti necessari per questo tipo di rappresentazione.
I fasori hanno un ruolo importante nel calcolo dei circuiti in corrente alternata mediante il metodo simbolico e i numeri complessi.

1.5 - Sinusoidi e numeri complessi

L'analisi dei circuiti in corrente alternata basata su operazioni tra sinusoidi non è praticamente proponibile. Fortunatamente abbiamo già evidenziato la corrispondenza tra sinusoidi e fasori, il che ci consente di tradurre operazioni matematiche tra sinusoidi in operazioni matematiche tra fasori. L'algebrizzazione di queste operazioni comporta un ulteriore passaggio che riguarda l'introduzione del calcolo complesso.
Abbiamo detto della rappresentazione vettoriale dei numeri complessi (1.2.2), giungendo alla conclusione che ogni numero complesso può essere rappresentato sul piano di Argand-Gauss mediante un vettore. Il fasore, come si è detto, rappresenta un vettore rotante congelato nel suo stato iniziale, e generalmente con modulo pari al valore efficace della grandezza. Il fasore è caratterizzato da ampiezza e fase, cui corrispondono il modulo \( \small \sqrt{a^2 + b^2}\) e l'argomento \( \small \beta\) del numero complesso (figura 2).
Una sinusoide \( \small y(t)\) di pulsazione \( \small \omega\) potrà allora essere rappresentata dal numero complesso \( \small a+jb\), dove \( \small j =\sqrt{-1}\) è l'unità immaginaria, se: \( \small y(t) = \sqrt{a^2 + b^2}\,sin(\omega t + \beta)\).
Quindi abbiamo la corrispondenza:
\[ a + jb \;\leftrightarrow\; \sqrt{a^2 + b^2}\,sin(\omega t + \beta)\] oppure, esprimendo il numero complesso in forma esponenziale:

\[ \sqrt{a^2 + b^2}\, e^{j \beta} \;\leftrightarrow\; \sqrt{a^2 + b^2}\,sin(\omega t + \beta)\]
L' argomento \( \small \beta\) si ricava dal rapporto tra parte immaginaria b e parte reale a del numero complesso, essendo \( \small \beta = arctan(b/a)\).
Queste corrispondenze stanno alla base del metodo simbolico, o analisi fasoriale, per il calcolo dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale.

2 - Le basi del metodo simbolico

Nell'ipotesi che il lettore abbia dimestichezza con i numeri complessi e con la formula di Eulero diamo qui le basi matematiche del metodo simbolico per l'analisi dei circuiti in corrente alternata sinusoidale.
Il metodo simbolico consiste appunto nella rappresentazione di grandezze sinusoidali mediante fasori e numeri complessi.

Scriviamo la seguente funzione complessa⁽⁶⁾:

(2.1) \(\qquad \dot Y(t) = A [ cos(\omega t + \varphi) + j\,sin(\omega t + \varphi)] \)

La parte reale e la parte immaginaria sono rispettivamente:

\(\qquad Re[\dot Y(t)] = A\,cos(\omega t + \varphi) \qquad Im[\dot Y(t)] = A\,sin(\omega t + \varphi) \)

Entrambe possono descrivere una oscillazione armonica.
Normalmente si considera che la parte reale di (2.1) rappresenti il fenomeno fisico, mentre non si attribuisce significato fisico alla parte immaginaria.
Quindi se (2.1) rappresentasse la forma complessa di una corrente, la grandezza fisica intensità di corrente sarebbe data da:
\[ i(t) = Re[\dot Y(t)] = A\,cos(\omega t + \varphi) \] Tuttavia nello studio elementare dei circuiti in alternata risulta più immediato utilizzare la funzione seno, che equivale ad  attribuire significato fisico alla parte immaginaria di \(\small \dot Y(t)\):
\[ i(t) = A\,sin(\omega t + \varphi) \] principalmente perchè, per ottenere i valori istantanei della grandezza sinusoidale, risulta più comodo proiettare i vettori rotanti sull'ordinata.
La sostanza comunque non cambia dato che le funzioni coseno e seno si ottengono una dall'altra grazie ad uno sfasamento di \(\small \pi/2) \) \[ cos(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}) = sin(\omega t + \varphi) \] Utilizzando la formula di Eulero, la (2.1) può essere riscritta così:

(2.2) \(\qquad \qquad \qquad \dot Y(t) = A\, e^{j\,(\omega t + \varphi)}\)

e per note proprietà dell'esponenziale:

(2.3) \(\quad \dot Y(t) = A\,e^{j\,\varphi} e^{j\, \omega t} = A \,[ cos (\varphi) + j\,sin(\varphi)] [cos(\omega t) + j\,sin(\omega t)]\)

con la quale abbiamo separato la dipendenza dal tempo \( e^{j\,\omega t} \) dalla parte fasoriale: \( A\,e^{j\,\varphi} \).
Diciamo allora :

(2.4) \(\qquad \qquad \qquad \dot Y(t) = \dot Y\, e^{j\,(\omega t}\)

in cui:

(2.5) \(\qquad \qquad \qquad \dot Y = A\,e^{j\,\varphi} =A \,[ cos (\varphi) + j\,sin(\varphi)]\)

rappresenta il fasore.

Da (2.3) è anche evidente che:

(2.6)\(\qquad \dot Y(0) = A\,e^{j\,\varphi} e^{j\, 0} = A\,e^{j\,\varphi} \cdot 1 = A\,e^{j\,\varphi} = \dot Y\)

che dimostra quanto dicevamo prima: il fasore rappresenta lo stato iniziale del vettore rotante (a meno della eventuale trasformazione dell'ampiezza in valore efficace).
Poichè la dipendenza dal tempo \( e^{j\,\omega t} \) è comune a tutte le grandezze (le sinusoidi hanno tutte la stessa frequenza) le relazioni reciproche tra di esse coinvolgono solamente i fasori. Questo permette di algebrizzare tutte le operazioni attraverso l'uso dei numeri complessi.
La somma e la differenza di sinusoidi si traducono immediatamente nella somma o differenza di fasori e quindi di numeri complessi.
Qualche considerazione in più merita il prodotto di sinusoidi.

Il metodo simbolico comporta la rappresentazione mediante numeri complessi di:

1. sinusoidi vere e proprie;
2. operatori che trasformano sinusoidi in altre di diverso tipo e caratteristiche

Il primo punto è già stato sviluppato.
Se moltiplichiamo il fasore (2.5) per un numero complesso \( \small \dot Z = R +j\,X = Z\,e^{j\,\beta}\)

(2.7)\(\quad \dot Z \cdot \dot Y = Z\,e^{j\,\beta}\,A\, e^{j\, \varphi} = Z\,A \,e^{j\,(\beta +\varphi)} = Z\,A\,[ cos (\beta +\varphi) + j\,sin(\beta + \varphi)]\)

otteniamo un nuovo fasore di modulo \(\small Z \, A\), ruotato di \(\small \beta\) radianti rispetto a \(\small \dot Y\).
In questo senso consideriamo \(\small \dot Z\) un operatore che modifica modulo e fase del fasore.
Se \(\small \dot Z\) ha anche dimensioni fisiche, il risultato della sua applicazione su \(\small \dot Y\) sarà anche una modifica del tipo di grandezza fisica. Ad esempio se \(\small \dot Y\) fosse una corrente e \(\small \dot Z\) fosse una grandezza con dimensione l'ohm, \(\small \dot Z \cdot \dot Y\) sarebbe una grandezza misurata in volt, cioè una tensione.

Continua con:

• Corrente Alternata 2: impedenza, reattanza e circuiti RLC serie, risonanza di tensione
• Corrente Alternata 3: ammettenza, circuiti RLC parallelo, risonanza di corrente

Rev. 28/12/2020


Testi dell'autore e approfondimenti

• Numeri complessi, definizioni e operazioni fondamentali
• Formula e identità di Eulero. Potenze e logaritmi complessi

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⁽¹⁾ In realtà campi elettrici e quindi differenze di potenziale possono essere create da variazioni nel tempo di campi magnetici, indipendentemente dalla presenza o meno di conduttori e/o circuiti elettrici.

⁽²⁾ Il prodotto tra vettori rappresentato dall'operatore \(\times\) (in Europa si usa anche il simbolo \(\wedge\)) è il cosiddetto prodotto vettoriale: esso è un vettore perpendicolare al piano individuato dagli operandi \(\small \vec{v}\) e \(\small \vec{B}\), di modulo \(\small v\,B\,sen(\alpha)\), dove \(\small \alpha\) è l'angolo tra i vettori \(\small \vec{v}\) e \(\small \vec{B}\).

⁽³⁾ \(\small \vec{E} \cdot \vec{l}\) è il cosiddetto prodotto scalare tra vettori, pensando \(\small \vec{l}\) come vettore spostamento: \(\small \vec{E} \cdot \vec{l} = E\,l\,cos(\beta)\), dove \(\small \beta\) è l'angolo eventualmente formato dal vettore campo e dal vettore spostamento. Quindi la formula correttamente scritta sarebbe \(\small e(t) = \vec{E} \cdot \vec{l} = v\,B\,sin(\omega t)\,l\,cos(\beta)\), ma in questo caso \(\small \beta = 0 \Rightarrow cos(\beta) = 1\) essendo il campo parallelo allo spostamento.

⁽⁴⁾ Pollice, indice e medio della mano destra sono disposti perpendicolarmente tra loro (a formare una terna destrorsa). Il pollice indica il verso della velocità, l'indice quello del campo magnetico (Nord-Sud), il medio dà il verso della forza elettromotrice indotta.

⁽⁵⁾ In tal caso, a volte detta cosinusoide. Ricordiamo che la funzione \(\small cos(\alpha) = sin(\alpha + \pi/2)\) e quindi il grafico di \(\small cos(\alpha)\) è, a tutti gli effetti, una sinusoide.

⁽⁶⁾ Usiamo il carattere puntato \(\small \dot Y \) per rappresentare grandezze complesse (numeri complessi). Nella letteratura tecnico-scientifica si usa spesso anche il carattere in grassetto per indicare vettori, fasori e grandezze complesse in generale. L'unità immaginaria \(i = \sqrt{-1}\) è qui chiamata \(j\) come è d'uso in Elettrotecnica ed Elettronica per evitare confusioni con il simbolo adottato per la corrente.